高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試題（四）

第Ⅰ卷（選擇題  共60分）

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么             　　 　球的表面積公式     

P(A+B)=P(A)+P(B)                   　　　

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么          　　　其中R表示球的半徑

P(A?B)=P(A)?P(B)                  

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是  　  　　球的體積公式

P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k        　

次的概率        　　　　 其中R表示球的半徑

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．設(shè)全集I={2，4，6，8}，集合A={8，|a－1|}，={4，6}，則a的值為（    ）

A．－3                    B．1         C．－3或1               D． 3或－1

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2．已知函數(shù)f(x)=，則它的反函數(shù)y=的圖象是(    )

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3．已知tan=,tan(－)=－，則tan(－2)的值是（   ）

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A．      B． －　　　　C． 　　       D． －

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4．將函數(shù)的圖象按向量a=(,0)平移后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是   （　　　 ）

A．奇函數(shù)　　　B．偶函數(shù)　　　C．非奇非偶函數(shù)　　　D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

 

 

甲

乙

丙

丁

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8

9

9

8

S2

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5.7

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6.2

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5.7

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6.4

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5．甲、乙、丙、丁四名射擊選手在選撥賽中所得的平均環(huán)數(shù)及

其方差S2如下表所示，則選送參加決賽的最佳人選是 (     )     

A．甲　　   B．乙　　  C．丙　     D．丁

 

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6．已知球的表面積為20π，球面上有A、B、C三點(diǎn)，如果AB = AC = 2，BC = 4，則球心到平面ABC的距離為（　　　）

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A．1      B．       C．         D．2

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7．已知雙曲線的一條準(zhǔn)線被它的兩條漸近線截得的線段長(zhǎng)等于它的焦點(diǎn)到漸近線的距離,則該雙曲線的離心率為(     )

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A．　     B．2　    C．       D．

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8．已知集合，集合，那么中 （　　　 ）

A．恰有兩個(gè)元素  　B．恰有一個(gè)元素   C．沒(méi)有元素  D．至多有一個(gè)元素

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9．某路公共汽車始發(fā)站停放著2輛公共汽車，有3名司機(jī)和4名售票員準(zhǔn)備上車執(zhí)行運(yùn)營(yíng)任務(wù)，若每輛汽車需要1名司機(jī)和2名售票員，其中1名售票員為組長(zhǎng)，那么不同安排的方法總數(shù)是（　　　�。�

A．36  　　B．72　 　　C．144      D．288

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10．條件的解；條件的解，則的（　　   ）

A ．充分非必要條件　B . 必要非充分條件    C ．充要條件    D． 非充分非必要條件

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11. 等差數(shù)列{a n}中，已知a9＋a11=p，a 90＋a 92=q，則其前100項(xiàng)的和為            （   　 ）

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A． 100(p+q)       B． 50(p+q)       C．25(p+q)        D．  

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12．設(shè)函數(shù)滿足，則方程根的個(gè)數(shù)可能是（     ）

A． 無(wú)窮多    B．沒(méi)有或者有限個(gè) 　　C．有限個(gè)      D．沒(méi)有或者無(wú)窮多

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二、填空題：本大題共６小題，每小題４分，共２４分.

13．給定兩個(gè)向量a=(1,2)，b =(x,1)，若a＋b與a－b垂直，則x的值等于______________．

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14．的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為           ．

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15．已知直線和平面，試?yán)蒙鲜鋈齻�(gè)元素并借助于它們之間的位置關(guān)系，構(gòu)造出一個(gè)判斷⊥ 的真命題　　　　　　　．

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16．已知x、y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值是        ．

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17．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，若，則角C的取值范圍是     　　　 　．　

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18．定義在N＋上的函數(shù)f(x)，滿足f (1 )＝1，且f(n+1)=則f(22) =        ．

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三、解答題：本大題共5小題，共66分.

19．（本小題滿分12分）10張獎(jiǎng)券中，一等獎(jiǎng)的有2張，二等獎(jiǎng)的有3張，三等獎(jiǎng)的有5張．每次從中任抽１張．

（Ⅰ）連續(xù)抽�。炒危看稳『蟛环呕兀�，求至少有一次中一等獎(jiǎng)的概率；

（Ⅱ）連續(xù)抽�。荡危看稳『蠓呕兀蟮谝淮沃幸坏泉�(jiǎng)，后四次中恰有２次中二等獎(jiǎng)的概率．

 

 

 

 

 

 

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20．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)．

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（Ⅰ）若的圖象與直線相切，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為２，且在處取極值，求實(shí)數(shù) 的值；

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（Ⅱ）當(dāng)b=1時(shí)，試證明：不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．

 

 

 

 

 

 

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21．(本小題滿分14分）  P是矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，AB=2，BC=3，PA=PB=，二面角

P－AB－C為600．

（Ⅰ）求PC與平面ABCD所成的角；

（Ⅱ）在PC上找一點(diǎn)E，使PA∥平面BED；

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（Ⅲ）求PC與BD所成的角．

 

 

 

 

 

 

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22．（本小題滿分14分）已知點(diǎn)A、B的距離為2，以B為圓心作半徑為2的圓，P為圓上一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l與直線PB交于點(diǎn)M，當(dāng)P在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)M的軌跡記為曲線C．

（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線C的方程，并說(shuō)明它是什么樣的曲線；

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（Ⅱ）試判斷l(xiāng)與曲線C的位置關(guān)系，并加以證明．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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23．（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列滿足 a1=t，a2=t2，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn+2－ (t+1)Sn+1＋tSn=0(n∈N＋)．

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（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；

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（Ⅱ）當(dāng)t≠1時(shí)，求的前n項(xiàng)和；

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（Ⅲ）若＜t＜2, ，求證：<．

 

 

 

 

 

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一、選擇題：

1．D　2．D　3．B   4．A  5．C  6．A  7．B  8．A ９．C  10．A  11．C  12．D

二、填空題：13. －２  14．１１　�。保担�⊥　或　⊥

１６．3　　�。保罚�　　　�。保福�

三、解答題

19．解：（Ⅰ）記至少有一次中一等獎(jiǎng)的事件為Ａ，

則其概率Ｐ（Ａ）＝＋＝．

答：至少有一次中一等獎(jiǎng)的概率為．　　　　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

注：本小問(wèn)缺少事件命名、答，各扣一分．

（Ⅱ）每次抽取獎(jiǎng)券都是相互獨(dú)立的，其中后四次分別看作獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)．   ．．．．．．．．７分

設(shè)第一次中一等獎(jiǎng)，后四次中恰有２次中二等獎(jiǎng)的事件為B，　　　　　�。阜�

則其概率Ｐ（B）=0.05292   ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１１分

答：第一次中一等獎(jiǎng)，后四次中恰有２次中二等獎(jiǎng)的概率為0.05292．　　�。�2分

20．解：（Ⅰ）      ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

由題意，代入上式，解之得：a=1，b=1．　　�。�5分

（２）當(dāng)b=1時(shí)，　　　　　　　

因故方程有兩個(gè)不同實(shí)根．　　�。�8分

不妨設(shè)，由可判斷的符號(hào)如下：

當(dāng)＞０；

當(dāng)＜０；

當(dāng)＞０

因此是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)．    ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11分

所以，當(dāng)b=1時(shí)，試證明：不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．．．．．12分．

21．21．解:

（Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)在平面ABCD上的射影為O, 連接CO,則∠PCO就是PC與平面ABCD所成的角,--------------------------1分

取AB的中點(diǎn)M,連接PM、OM,因?yàn)镻A=PB,所以PM⊥AB,由三垂線定理的逆定理得OM⊥AB,,所以∠PMO就是二面角P-AB-C的平面角，即∠PMO=600，--------------2分

在ΔPAB中，

 

PM=

過(guò)O作ON⊥BC交BC于N,則BN=MO=1,

在RtΔCON中,OC=------------------------3分

在RtΔPOC中 ，tan∠PCO=

即PC與平面ABCD所成的角為arctan.-------------------------------------5分

(Ⅱ)連接AC、BD.交于點(diǎn)H,則H為AC的中點(diǎn)，取PC中點(diǎn)E，則PA∥HE,-----7分

所求。---9分

（Ⅲ）取PA中點(diǎn)為F,連接HF,則HF∥PC,所以∠BHF為異面直線PC與BD所成的角或其補(bǔ)角。----------------10分

在ΔBHF中，

-------12分

COS∠BHF=

∠BHF=arccos,即PC與BD所成的角為 arccos。--------14分

22．解：（Ⅰ）以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則　A（－1,0），B（1,0）………………………………………1’

設(shè)M（x,y）,由題意：|MP|=|MA|,|BP|=2，所以 |MB|+|MA|=2     ……..3’

故曲線C是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓，……………………..5’

其方程為x2+2y2=2  ……………………….7’

（Ⅱ）直線l與曲線C的位置關(guān)系是相切�！�8’

證明如下:　由（Ⅰ）知曲線C方程為x2+2y2=2，

設(shè)P(m,n)，則P在⊙B上，故(m-1)2+n2=8，即m2+n2=7+2m …………..9’

當(dāng)P、A、B共線時(shí)，直線l的方程為x=±，顯然結(jié)論成立. ………….10’

當(dāng)P、A、B 不共線時(shí)，直線l的方程為：y-=-(x-)

整理得，y=－(x-)＋＝－x＋=－x＋  ………………….11’

把直線l的方程代入曲線C方程得：x2+2（－x＋）2＝2

整理得，[n2+2(m+1)2]x2-4(m+1)(m+3)x+2(m+3)2-2n2=0            ………………………12’

判別式△＝[4(m+1)(m+3)]2-4[n2+2(m+1)2] [2(m+3)2-2n2]= -8n2[(m+3)2-n2-2(m+1)2]

              =-8n2[-m2-n2+2m+7]=0                        

∴直線l與曲線C相切　　……………………………14’

說(shuō)明：以A或B為原點(diǎn)建系，可參照得分.

另證：在直線l上任取一點(diǎn)M’，連結(jié)M’A、M’B、MA，……………………………9’

由垂直平分線的性質(zhì)得　|M’A|=|M’P|，……………………………11’

∴|M’A|+|M’B|＝|M’P|+|M’B|≥｜PB｜＝2（當(dāng)且僅當(dāng)M、M’重合時(shí)取”=”號(hào)）　　……13’

∴直線l與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)M　　　　　　　　　　

結(jié)論得證.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………14’

23解：（Ⅰ）；由Sn+2－ (t+1)Sn+1＋tSn=0，得(t+1)Sn+1= Sn+2＋tSn，即,           （2分）

而 a1=t，a2=t2                                                                                                     （3分）

 所以，當(dāng)t≠0時(shí)，數(shù)列是以t為首項(xiàng)，t為公比的等比數(shù)列.于是 。       

經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)t=0時(shí)上述結(jié)論仍成立　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，則有

（5分）

當(dāng)t≠0時(shí)

                                            （6分）

于是有，解得  （7分）

所以                

經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)t=0時(shí)上述結(jié)論仍成立　                            （9分）

（Ⅲ）＝(tn＋t-n)　　∵(tn＋t-n)－(2n＋2-n)＝(tn－2n)[1－()n] 且＜t＜2

∴＜<1     ∴tn－2n＜0且1－()n<0　　                      

∴(tn－2n) [1－()n]<0                                   

∴tn＋t-n<2n＋2-n                                         （11分）

∴  2（ ++ ……+）<(2+22+……+2n)+ (2-1+2-2+……+2-n)=2(2n-1)+1-2-n

=2n+1－（1＋2-n）                                       （12分）

＜2n+1－2                   

∴<                                   （14分）

 

另解：對(duì)f(t)求導(dǎo)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)減，在區(qū)間上單調(diào)增，且f()=f(2)

于是有                                                   

所以<

                   =         

                     


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