高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試題(四)
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
參考公式:
如果事件A、B互斥,那么 球的表面積公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互獨(dú)立,那么 其中R表示球的半徑
P(A?B)=P(A)?P(B)
如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 球的體積公式
P,那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k
次的概率 其中R表示球的半徑
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)全集I={2,4,6,8},集合A={8,|a-1|},={4,6},則a的值為( )
A.-3 B.1 C.-3或1 D. 3或-1
2.已知函數(shù)f(x)=,則它的反函數(shù)y=的圖象是( )
3.已知tan=,tan(-)=-,則tan(-2)的值是( )
A. B. - C. D. -
4.將函數(shù)的圖象按向量a=(,0)平移后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是 ( )
A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
甲
乙
丙
丁
8
9
9
8
S2
5.7
6.2
5.7
6.4
5.甲、乙、丙、丁四名射擊選手在選撥賽中所得的平均環(huán)數(shù)及
其方差S2如下表所示,則選送參加決賽的最佳人選是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6.已知球的表面積為20π,球面上有A、B、C三點(diǎn),如果AB = AC = 2,BC = 4,則球心到平面ABC的距離為( 。
A.1 B. C. D.2
7.已知雙曲線的一條準(zhǔn)線被它的兩條漸近線截得的線段長(zhǎng)等于它的焦點(diǎn)到漸近線的距離,則該雙曲線的離心率為( )
A. B.2 C. D.
8.已知集合,集合,那么中 ( )
A.恰有兩個(gè)元素 B.恰有一個(gè)元素 C.沒有元素 D.至多有一個(gè)元素
9.某路公共汽車始發(fā)站停放著2輛公共汽車,有3名司機(jī)和4名售票員準(zhǔn)備上車執(zhí)行運(yùn)營(yíng)任務(wù),若每輛汽車需要1名司機(jī)和2名售票員,其中1名售票員為組長(zhǎng),那么不同安排的方法總數(shù)是( )
A.36 B.72 C.144 D.288
10.條件的解;條件的解,則的( )
A .充分非必要條件 B . 必要非充分條件 C .充要條件 D. 非充分非必要條件
11. 等差數(shù)列{a n}中,已知a9+a11=p,a 90+a 92=q,則其前100項(xiàng)的和為 ( )
A. 100(p+q) B. 50(p+q) C.25(p+q) D.
12.設(shè)函數(shù)滿足,則方程根的個(gè)數(shù)可能是( )
A. 無窮多 B.沒有或者有限個(gè) C.有限個(gè) D.沒有或者無窮多
二、填空題:本大題共6小題,每小題4分,共24分.
13.給定兩個(gè)向量a=(1,2),b =(x,1),若a+b與a-b垂直,則x的值等于______________.
14.的展開式中x2的系數(shù)為 .
15.已知直線和平面,試?yán)蒙鲜鋈齻(gè)元素并借助于它們之間的位置關(guān)系,構(gòu)造出一個(gè)判斷⊥ 的真命題 .
16.已知x、y滿足約束條件,則z=2x+y的最大值是 .
17.在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊,若,則角C的取值范圍是 .
18.定義在N+上的函數(shù)f(x),滿足f (1 )=1,且f(n+1)=則f(22) = .
三、解答題:本大題共5小題,共66分.
19.(本小題滿分12分)10張獎(jiǎng)券中,一等獎(jiǎng)的有2張,二等獎(jiǎng)的有3張,三等獎(jiǎng)的有5張.每次從中任抽1張.
(Ⅰ)連續(xù)抽。炒危看稳『蟛环呕兀笾辽儆幸淮沃幸坏泉(jiǎng)的概率;
(Ⅱ)連續(xù)抽。荡危看稳『蠓呕兀,求第一次中一等獎(jiǎng),后四次中恰有2次中二等獎(jiǎng)的概率.
20.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)若的圖象與直線相切,切點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,且在處取極值,求實(shí)數(shù) 的值;
(Ⅱ)當(dāng)b=1時(shí),試證明:不論a取何實(shí)數(shù),函數(shù)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).
21.(本小題滿分14分) P是矩形ABCD所在平面外一點(diǎn),AB=2,BC=3,PA=PB=,二面角
P-AB-C為600.
(Ⅰ)求PC與平面ABCD所成的角;
(Ⅱ)在PC上找一點(diǎn)E,使PA∥平面BED;
(Ⅲ)求PC與BD所成的角.
22.(本小題滿分14分)已知點(diǎn)A、B的距離為2,以B為圓心作半徑為2的圓,P為圓上一點(diǎn),線段AP的垂直平分線l與直線PB交于點(diǎn)M,當(dāng)P在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)M的軌跡記為曲線C.
(Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線C的方程,并說明它是什么樣的曲線;
(Ⅱ)試判斷l(xiāng)與曲線C的位置關(guān)系,并加以證明.
23.(本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列滿足 a1=t,a2=t2,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+2- (t+1)Sn+1+tSn=0(n∈N+).
(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)當(dāng)t≠1時(shí),求的前n項(xiàng)和;
(Ⅲ)若<t<2, ,求證:<.
一、選擇題:
1.D 2.D 3.B 4.A 5.C 6.A 7.B 8.A 9.C 10.A 11.C 12.D
二、填空題:13. -2 14.11 。保担⊥ 或 ⊥
16.3 。保罚 。保福
三、解答題
19.解:(Ⅰ)記至少有一次中一等獎(jiǎng)的事件為A,
則其概率P(A)=+=.
答:至少有一次中一等獎(jiǎng)的概率為. 。6分
注:本小問缺少事件命名、答,各扣一分.
(Ⅱ)每次抽取獎(jiǎng)券都是相互獨(dú)立的,其中后四次分別看作獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn). ........7分
設(shè)第一次中一等獎(jiǎng),后四次中恰有2次中二等獎(jiǎng)的事件為B, 。阜
則其概率P(B)=0.05292 .............................11分
答:第一次中一等獎(jiǎng),后四次中恰有2次中二等獎(jiǎng)的概率為0.05292. 。2分
20.解:(Ⅰ) .............................2分
由題意,代入上式,解之得:a=1,b=1. 。5分
(2)當(dāng)b=1時(shí),
因故方程有兩個(gè)不同實(shí)根. 。8分
不妨設(shè),由可判斷的符號(hào)如下:
當(dāng)>0;
當(dāng)<0;
當(dāng)>0
因此是極大值點(diǎn),是極小值點(diǎn). ........................ 11分
所以,當(dāng)b=1時(shí),試證明:不論a取何實(shí)數(shù),函數(shù)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).....12分.
21.21.解:
(Ⅰ)設(shè)P點(diǎn)在平面ABCD上的射影為O, 連接CO,則∠PCO就是PC與平面ABCD所成的角,--------------------------1分
取AB的中點(diǎn)M,連接PM、OM,因?yàn)镻A=PB,所以PM⊥AB,由三垂線定理的逆定理得OM⊥AB,,所以∠PMO就是二面角P-AB-C的平面角,即∠PMO=600,--------------2分
在ΔPAB中,
PM=
過O作ON⊥BC交BC于N,則BN=MO=1,
在RtΔCON中,OC=------------------------3分
在RtΔPOC中 ,tan∠PCO=
即PC與平面ABCD所成的角為arctan.-------------------------------------5分
(Ⅱ)連接AC、BD.交于點(diǎn)H,則H為AC的中點(diǎn),取PC中點(diǎn)E,則PA∥HE,-----7分
所求。---9分
(Ⅲ)取PA中點(diǎn)為F,連接HF,則HF∥PC,所以∠BHF為異面直線PC與BD所成的角或其補(bǔ)角。----------------10分
在ΔBHF中,
-------12分
COS∠BHF=
∠BHF=arccos,即PC與BD所成的角為 arccos。--------14分
22.解:(Ⅰ)以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則 A(-1,0),B(1,0)………………………………………1’
設(shè)M(x,y),由題意:|MP|=|MA|,|BP|=2,所以 |MB|+|MA|=2 ……..3’
故曲線C是以A、B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓,……………………..5’
其方程為x2+2y2=2 ……………………….7’
(Ⅱ)直線l與曲線C的位置關(guān)系是相切。…………………8’
證明如下: 由(Ⅰ)知曲線C方程為x2+2y2=2,
設(shè)P(m,n),則P在⊙B上,故(m-1)2+n2=8,即m2+n2=7+2m …………..9’
當(dāng)P、A、B共線時(shí),直線l的方程為x=±,顯然結(jié)論成立. ………….10’
當(dāng)P、A、B 不共線時(shí),直線l的方程為:y-=-(x-)
整理得,y=-(x-)+=-x+=-x+ ………………….11’
把直線l的方程代入曲線C方程得:x2+2(-x+)2=2
整理得,[n2+2(m+1)2]x2-4(m+1)(m+3)x+2(m+3)2-2n2=0 ………………………12’
判別式△=[4(m+1)(m+3)]2-4[n2+2(m+1)2] [2(m+3)2-2n2]= -8n2[(m+3)2-n2-2(m+1)2]
=-8n2[-m2-n2+2m+7]=0
∴直線l與曲線C相切 ……………………………14’
說明:以A或B為原點(diǎn)建系,可參照得分.
另證:在直線l上任取一點(diǎn)M’,連結(jié)M’A、M’B、MA,……………………………9’
由垂直平分線的性質(zhì)得 |M’A|=|M’P|,……………………………11’
∴|M’A|+|M’B|=|M’P|+|M’B|≥|PB|=2(當(dāng)且僅當(dāng)M、M’重合時(shí)取”=”號(hào)) ……13’
∴直線l與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)M
結(jié)論得證. …………14’
23解:(Ⅰ);由Sn+2- (t+1)Sn+1+tSn=0,得(t+1)Sn+1= Sn+2+tSn,即, (2分)
而 a1=t,a2=t2 (3分)
所以,當(dāng)t≠0時(shí),數(shù)列是以t為首項(xiàng),t為公比的等比數(shù)列.于是 。
經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)t=0時(shí)上述結(jié)論仍成立 (4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,則有
(5分)
當(dāng)t≠0時(shí)
(6分)
于是有,解得 (7分)
所以
經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)t=0時(shí)上述結(jié)論仍成立 (9分)
(Ⅲ)=(tn+t-n) ∵(tn+t-n)-(2n+2-n)=(tn-2n)[1-()n] 且<t<2
∴<<1 ∴tn-2n<0且1-()n<0
∴(tn-2n) [1-()n]<0
∴tn+t-n<2n+2-n (11分)
∴ 2( ++ ……+)<(2+22+……+2n)+ (2-1+2-2+……+2-n)=2(2n-1)+1-2-n
=2n+1-(1+2-n) (12分)
<2n+1-2
∴< (14分)
另解:對(duì)f(t)求導(dǎo),可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)減,在區(qū)間上單調(diào)增,且f()=f(2)
于是有
所以<
=
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