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練習(xí)冊(cè)

練習(xí)冊(cè)
試題

試卷類型：A

廣東省湛江市2009年普通高考測(cè)試題(二)

數(shù) 學(xué)(理科)

本試卷共4頁(yè)，共21小題，滿分150分�？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，用2B鉛筆將答題卡試卷類型(A)填涂在答題卡上。在答題卡右上角的“試室號(hào)”和“座位號(hào)”欄填寫(xiě)試室號(hào)、座位號(hào)，將相應(yīng)的試室號(hào)、座位號(hào)信息點(diǎn)涂黑。

2．選擇題每小題選出答案后，用2B型鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試卷上。

3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。

4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

參考公式：

棱錐的體積公式如果事件、相互獨(dú)立，那么

其中是底面面積，是高

一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．若集合，，則集合=（）

A． B． C． D．

2．若向量，，則=（）

A． B． C． D．

3．若方程在內(nèi)有解，則的圖象是（）

4．若直線與圓相切，且為銳角，則這條直線的斜率是（）

A． B． C． D．

5．已知，，且，，成等比數(shù)列，則（）

A．有最大值 B．有最大值

C．有最小值 D．有最小值

6．已知中，A、B的坐標(biāo)分別為和，若三角形的周長(zhǎng)為10，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（）

A．（） B．（）

C．（） D．（）

7．已知棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)，M

分別是、、的中點(diǎn)，又P、Q分別在線段

、上，且，，設(shè)面

面，則下列結(jié)論中不成立的是（）

A．面

B．

C．面與面不垂直

D．當(dāng)變化時(shí)，不是定直線

8．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，若存在常數(shù)，使對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立，則稱為“倍約束函數(shù)”．現(xiàn)給出下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，且對(duì)一切，均有．其中是“倍約束函數(shù)”的有（）

A．1個(gè) B．2個(gè)

C．3個(gè) D．4個(gè)

(一)必做題(9～12題)

二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分．滿分30分．

9．曲線在處的切線的傾斜角為．

10．某網(wǎng)絡(luò)公司為了調(diào)查一住宅區(qū)連接互聯(lián)網(wǎng)

情況，從該住宅區(qū)28000住戶中隨機(jī)抽取

了210戶進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如右圖，

則估計(jì)該住宅區(qū)已接入互聯(lián)網(wǎng)的住戶數(shù)

是．

11．設(shè)，其中、滿足，

若的最小值為，則的最大值為．

12．學(xué)校安排4名教師在六天里值班，每天只安排一名教師，每人至少安排一天，至多安排兩天，且這兩天要相連，那么不同的安排方法種數(shù)是 (用數(shù)字作答)．

(二)選做題(13～15題，考生只能從中選做二題)

13．(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)曲線：（為參數(shù)），若以點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則該曲線的極坐標(biāo)方程是．

14．(不等式選講選做題)已知關(guān)于的不等式的解集不是空集，則的最小值是。

15．(幾何證明選講選做題)如圖，半圓的半徑為，

為直徑，為的中點(diǎn)，D為的三分之一

分點(diǎn)，且的長(zhǎng)等于兩倍的長(zhǎng)。連結(jié)并延

長(zhǎng)交半圓以為切點(diǎn)的切線于E，則= 。

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

16．(本小題滿分12分)

已知函數(shù)．

(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

17．(本小題滿分12分)

某地區(qū)舉辦青少年科技創(chuàng)新大賽，有50件科技創(chuàng)新作品進(jìn)入了最后的評(píng)審階段，大賽組委會(huì)對(duì)這50件作品分別從“藝術(shù)與創(chuàng)新”和“功能與實(shí)用”兩項(xiàng)進(jìn)行評(píng)分，每項(xiàng)評(píng)分均按等級(jí)采用5分制，若設(shè)“藝術(shù)與創(chuàng)新”得分為，“功能與實(shí)用”得分為，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

作品數(shù)量

功能與實(shí)用

1分

2分

3分

4分

5分

藝

術(shù)

與

創(chuàng)

新

1分

1

3

1

0

1

2分

1

0

7

5

1

3分

2

1

0

9

3

4分

1

b

6

0

a

5分

0

0

1

1

3

(Ⅰ)求“藝術(shù)與創(chuàng)新為4分且功能與實(shí)用為3分”的概率；

(Ⅱ)若“功能與實(shí)用”得分的數(shù)學(xué)期望為，求、的值。

18．(本小題滿分14分)

在四棱錐中，，

，平面，為

的中點(diǎn)，．

(Ⅰ)求四棱錐的體積；

(Ⅱ)若為的中點(diǎn)，求證：平面平面；

(Ⅲ)求二面角的大�。�

19．(本小題滿分14分)

設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上，恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”．已知．

(Ⅰ)若為區(qū)間上的“凸函數(shù)”，試確定實(shí)數(shù)的值；

(Ⅱ)若當(dāng)實(shí)數(shù)滿足時(shí)，函數(shù)在上總為“凸函數(shù)”，求的最大值．

20．(本小題滿分14分)

已知拋物線方程（，且）．

(Ⅰ)若拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，求拋物線的方程；

(Ⅱ)若動(dòng)圓過(guò)，且圓心在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，E、F是圓和軸的交點(diǎn)，試探究是否可能為定值?若有可能，求出令為定值的條件，若無(wú)可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

21．(本小題滿分14分)

數(shù)列中，，，（）．

(Ⅰ)試求、的值，使得數(shù)列為等比數(shù)列；

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列滿足：，為數(shù)列的前項(xiàng)和．

證明：時(shí)，．

湛江市2009年普通高考測(cè)試題(二)

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)

1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．B 7．D 8．C

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)

9．（） 10．12000 11．4 12．144 13．

14． 15．

三、解答題(本大題共6小題，共80分)

16．(本小題滿分12分)

解：（Ⅰ）…………………………………2分

……………………………………………………3分

………………………………………………………5分

∴函數(shù)的最小正周期…………………………………………6分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，………………………………………8分

∴當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增……………………10分

當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減……………………12分

17．(本小題滿分12分)

解：∵作品數(shù)量共有50件，∴…………①……………………2分

（Ⅰ）從表中可以看出，“藝術(shù)與創(chuàng)新為4分且功能與實(shí)用為3分”的作品數(shù)量為6件，

∴“藝術(shù)與創(chuàng)新為4分且功能與實(shí)用為3分”的概率為……………4分

（Ⅱ）由表可知“功能與實(shí)用”得分有1分、2分、3分、4分、5分五個(gè)等級(jí)，且每個(gè)等級(jí)分別有5件，件，15件，15件，年。

∴“功能與實(shí)用”得分的分布列為：

1

2

3

4

5

…………………………………8分

又∵“功能與實(shí)用”得分的數(shù)學(xué)期望為，

∴

與①式聯(lián)立可解得：，……………………12分

18．(本小題滿分14分)

解：（Ⅰ）在中，，，∴，……1分

在中，，，∴，…………2分

∴…………4分

則…………………………………………5分

（Ⅱ）∵平面，∴…………………………6分

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∴平面………………………7分

∵、分別為、中點(diǎn)，

∴………………………8分

∴平面………………………9分

∵平面，∴平面平面

………………………10分

（Ⅲ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，

∴平面，過(guò)作于，

連接，則為二面角的平面角。

…………………………12分

∵為的中點(diǎn)，，，

∴，又，

∴，故

即三面角的大小為…………………………14分

19．(本小題滿分14分)

解：由函數(shù)得，………………3分

(Ⅰ) 若為區(qū)間上的“凸函數(shù)”，則有在區(qū)間上恒成立，由二次函數(shù)的圖像，當(dāng)且僅當(dāng)

，

即． …………………………………………………7分

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，恒成立．……………………………………………………………………………8分

當(dāng)時(shí)，顯然成立。 …………………………………9分

當(dāng)，

∵的最小值是．

∴．

從而解得 …………………………………………………………………11分

當(dāng)，

∵的最大值是，∴，

從而解得． ………………………………………………………………13分

綜上可得，從而 ………………………………14分

20．(本小題滿分14分)

解：（Ⅰ）∵拋物線的焦點(diǎn)為（），………………………1分

∴………………………………………………………………………2分

∴，所求方程為………………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)圓圓心為，（其中），、的坐標(biāo)分別為，

因?yàn)閳A過(guò)，故設(shè)圓的方程……………6分

∵、是圓和軸的交點(diǎn)

∴令得：…………………………………………………8分

則，

…………………10分

又∵圓心在拋物線上

∴ …………………………………………………………………11分

∴…………………………………．12分

∴當(dāng)時(shí)，(定值)． ……………………………………………14分

21．(本小題滿分14分)

解：（Ⅰ）若為等比數(shù)列，則存在，使

對(duì)成立�！�2分

由已知：，代入上式，整理得

………①……………4分

∵①式對(duì)成立，

∴解得……………………………………5分

∴當(dāng)，時(shí)，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列…………6分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得：，即

所以……………………………8分

∵…………………………9分

時(shí)，

…………………………11分

現(xiàn)證：（）

證法1：

當(dāng)時(shí)，，

而，，故時(shí)成立。…………………………12分

時(shí)，由

且得，，∴…………………14分

證法2：

時(shí)

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個(gè)

∴……………………………………14分

證法3：

（1）時(shí)，

，故時(shí)不等式成立……………………12分

（2）假設(shè)（）

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