已知f（n）=（1-

1

3

）（1-

1

32

）（1-

1

33

）…（1-

1

3n

），g（n）=

1

2

（1+

1

3n

），其中n∈N*．
（1）分別計算f（1），f（2），f（3）和g（1），g（2），g（3）的值；
（2）由（1）猜想f（n）與g（n）（n∈N*）的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（2009•大連二模）（I）已知函數(shù)f（x）=x-

1

x

，x∈(

1

4

，

1

2

)，P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))是f(x)圖象上的任意兩點，且x₁＜x₂．
①求直線PQ的斜率k_PQ的取值范圍及f（x）圖象上任一點切線的斜率k的取值范圍；
②由①你得到的結(jié)論是：若函數(shù)f（x）在[a，b]上有導函數(shù)f′（x），且f（a）、f（b）存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得f′（ξ）=成立（用a，b，f（a），f（b）表示，只寫出結(jié)論，不必證明）
（II）設函數(shù)g（x）的導函數(shù)為g′（x），且g′（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，g（0）=0．試運用你在②中得到的結(jié)論證明：
當x∈（0，1）時，f（1）x＜g（x）．

（2012•福建模擬）設函數(shù)f（x）的圖象是由函數(shù)g(x)=cos2x+

3

sinxcosx-

1

2

的圖象經(jīng)下列兩個步驟變換得到：
（1）將函數(shù)g（x）的圖象向右平移

π

12

個單位，并將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)h（x）的圖象；
（2）將函數(shù)h（x）的圖象上各點的縱坐標縮短為原來的m(0＜m＜

1

2

)倍（橫坐標不變），并將圖象向上平移1個單位，得到函數(shù)f（x）的圖象．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）判斷方程f（x）=x的實根的個數(shù)，證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）設數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，a_n+1=f（a_n），試探究數(shù)列{a_n}的單調(diào)性，并加以證明．

已知f（n）=（1-

1

3

）（1-

1

32

）（1-

1

33

）…（1-

1

3n

），g（n）=

1

2

（1+

1

3n

），其中n∈N*．
（1）分別計算f（1），f（2），f（3）和g（1），g（2），g（3）的值；
（2）由（1）猜想f（n）與g（n）（n∈N*）的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

設函數(shù)f（x）的圖象是由函數(shù)g(x)=cos2x+

3

sinxcosx-

1

2

的圖象經(jīng)下列兩個步驟變換得到：
（1）將函數(shù)g（x）的圖象向右平移

π

12

個單位，并將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)h（x）的圖象；
（2）將函數(shù)h（x）的圖象上各點的縱坐標縮短為原來的m(0＜m＜

1

2

)倍（橫坐標不變），并將圖象向上平移1個單位，得到函數(shù)f（x）的圖象．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）判斷方程f（x）=x的實根的個數(shù)，證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）設數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，a_n+1=f（a_n），試探究數(shù)列{a_n}的單調(diào)性，并加以證明．