(八)綜合例題賞析 例9 設(shè)甲.乙.丙是三個(gè)命題.如果甲是乙的必要條件,丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件.那么( ) A.丙是甲的充分條件.但不是必要條件 B.丙是甲的必要條件.但不是甲的充分條件 C.丙是甲的充要條件 D.丙不是甲的充分條件.也不是甲的必要條件 解 “甲是乙的必要條件 .即“甲乙 .“丙是乙的充分不必要條件 .即“丙乙. 且丙乙 . 因 丙乙甲 即丙是甲的充分不必要條件 故 應(yīng)選A. 例10 已知直線x=a2+y2=4相切 .那么a的值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解:r=2.圓心(1.0).a＞0.∴a＝3 應(yīng)選C. 例11 設(shè)圓滿足:①截y軸所得的弦長(zhǎng)為2,②被x軸分成 的兩段弧.其弧長(zhǎng)的比為3∶1在滿足條件①.②的所有圓中.求圓心到直線l∶x-2y=0的距 離最小的圓的方程 解:設(shè)所求圓的圓心P(a,b)半徑r 由題設(shè)知.P到x,y軸的距離分別為|b|,|a|,且圓P截x軸的弦所對(duì)圓心角為90°.故其弦 長(zhǎng)為r,有r2=2b2 由“圓P截y軸所得弦長(zhǎng)為2 有r2=a2+1 ∴2b2-a2=1 P(a,b)到直線x-2y=0的距離為 d=,得 5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2) 2b2-a2=1 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)上式等號(hào)成立.此時(shí)5d2=1從而d取得最小值 由此有 解得 或 又由r2=2b2,得r2=2. ∴所求圓方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2 例12 已知圓滿足:①截y軸所得弦長(zhǎng)為2,②被x軸分成兩段圓弧.其弧長(zhǎng)的 比為3∶1,③圓心到直線l∶x-2y=0的距離為.求該圓的方程 解 設(shè)已知圓的圓心P(a,b).半徑為r.由題設(shè)已知圓P截x軸所得劣弧所對(duì)的圓心角是90°.從而圓P截x軸所得弦長(zhǎng)為r.又點(diǎn)P到x,y軸的距離分別為|b|,|a|圓P 截y軸所得弦長(zhǎng)為2. r2=a2+1 (1) 由已知有.點(diǎn)P到直線x-2y=0的距離為.即 d= (2) 由圓P截y軸的弦長(zhǎng)為2.易知|b|=1 (3) 聯(lián)立.可得 或 代入(1)又得r= 于是所求圓的方程為(x+1)2+(y+1)2或(x-1)2+(y-1)2＝2 例13 設(shè)橢圓=1 的右焦點(diǎn)為F1.右準(zhǔn)線為l1.若過F1且垂直于x軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)F1到l1的距離. 則橢圓的離心率是 . 解: 例14 設(shè)直線2x-y-=0與y軸的交點(diǎn)為P.點(diǎn)P把圓(x+1)2+y2 ＝25的直徑分為兩段.則其長(zhǎng)度之比是( ) A.或 B. 或 C. 或 D. 或 解:如下圖 圓(x+1)2+y2＝25的圓心坐標(biāo)是.半徑r=5. 直線l:2x-3-＝0與y軸的交點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0.-). 設(shè)點(diǎn)P在直徑AB上.所求即 |PA|∶|PB|. 由于|O′P|＝|＝2 則 |PA|∶|PB|＝＝7∶3或 |PA|∶|PB|＝＝3∶7或 故 應(yīng)選A. 例15 設(shè)雙曲線=1的半焦距為C.直線1過兩點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線1的距離為c.則雙曲線的離心率為( ) A.2. B. C. D. 解:∵直線1過, ∴1的方程為=1, 即bx+ay-ab=0 ∵原點(diǎn)(0.0)到1的距離為c.由點(diǎn)到直線的距離公式 .得c=又0＜a＜b,雙曲線中c2=a2+b2, ∴ 整理得a2-4ab+b2=0,b=a. ∴c2=a2+b2=4a2,c=2a,e==2. 應(yīng)選A. 例16 設(shè)F1和F2為雙曲線-y2 =1的兩個(gè)焦點(diǎn).點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠F1PF2=90°.則△F1PF2的面積是( ) A.1 B. C.2 D. 解:由已知可得.F1(-.0).F2(.0) ∴|F1F2|=2,|F1F2|2=20 由∠F1PF2=90°, 得20=|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2 ① 由雙曲線定義得︳PF1︳-︳PF2︳=2a=4.平方得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·︳PF1|=16 ② ①-②得2|PF1|·|PF2|=4 ∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2| 應(yīng)選A. 例17 雙曲線-x2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是 . 解:(0.).(0.-) 例18 如果雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為2.焦距為6.那么該 雙曲線的離心率是( ) A. B. C. D.2 解:由題設(shè)知a=2,c=3. ∴e=. 應(yīng)選C. 例19 已知點(diǎn)與拋物線y2=2px的焦點(diǎn) 的距離是5.則p= . 解:y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(.0). ∴5= 解出p=4. 例20 直線l過拋物線y2=a的焦點(diǎn).并 且與x軸垂直.若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4.則a= . 解:設(shè)拋物線焦參數(shù)為p.則a=2p. l是過焦點(diǎn)的直線且垂直于x軸即垂直于拋物線y2=a(x+1)的對(duì)稱軸. ∴l(xiāng)被拋物線截得的線段即正焦弦長(zhǎng). ∴4=2p=a.即a=4. 例21 如果三角形的頂點(diǎn)分別是O.那么它的內(nèi)切圓方程是 . 解:設(shè)內(nèi)切圓心為O′.則O′到x.y軸等距.其距離即內(nèi)切圓半徑r.又O′在第四象限木. 所以O(shè)′. 直線AB的方程是＝18x-15y-120＝0 即±17r＝23r-120.解得r＝3. 例22 焦點(diǎn)在的拋物線方程是 ( ) A.y2=8(x+1) B.y2=-8(x+1) C.y2=8(x-1) D.y2=-8(x-1) 解:設(shè)拋物線焦參數(shù)為p.則焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的距離是.即==2.得p=4. 又拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為. ∴y2=-8(x-1)為所求. 應(yīng)選D. 例23 圓x2+y2-2x＝0和圓x2+y2-4x＝0的位置關(guān)系是( ) A.相離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切 解 C1∶(x-1)2+y2＝1,O1(1,0),r1＝1 C2∶x2+(y-2)2＝4,O2(0,2),r2＝2 因 |O1O2|＝＜r1+r2＝3,且＞|r1-r2|＝1, 則 兩圓相交 應(yīng)選C. 例24 設(shè)曲線C的方程是y=x3-x.將C沿x軸.y軸正 向分別平行移動(dòng)t.s單位長(zhǎng)度后得曲線C1. (1)寫出曲線C1的方程, (2)證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A(.)對(duì)稱, (3)如果曲線C與C1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).證明S=-t且t≠0. 解:(1)曲線C1的方程為 y=(x-t)3-(x-t)+s (2)在曲線C上任取點(diǎn)B1(x1.y1).設(shè)B2(x2.y2)是B1關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn).則有.. ∴x1=t-x2.y1=s-y2 代入曲線C的方程.得x2和y2滿足方程: S-y2=(t-t2)3-(t-x2). 即y2=(x2-t)2-(x2-t)+s. 可知點(diǎn)B(x2-y2)在曲線C1上 反過來.同樣可以證明.在曲線C1上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上. ∴曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱. (3)∵曲線C與C1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn). ∴方程組.有且僅有一組解. 消去y.整理得 3tx2-3t2x+(t3-t-S)=0. 這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程有且僅有一個(gè)根 ∴t≠0.并且其根的判別式 Δ=9t4-12t(t3-t-S)=0. 即 ∴S=-t且t≠0 例25 已知橢圓=1.直線L∶=1.P是L上 一點(diǎn).射線OP交橢圓于R.又點(diǎn)Q在OP上且滿足│OQ│·│OP│=│OR│2.當(dāng)點(diǎn)P在L上移動(dòng) 時(shí).求點(diǎn)Q的軌跡方程.并說明軌跡是什么曲線. 解:如圖. 由題設(shè)知Q不在原點(diǎn).設(shè)P.R.Q的坐標(biāo)分別為(xP.yP).(xR.yR).(x.y)其中x .y不同時(shí)為零. 當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí).由于點(diǎn)R在橢圓上及點(diǎn)O.Q.R共線.得方程組, 解得 由于點(diǎn)P在直線l上及點(diǎn)O.Q.P共線.得方程組: ③.解得 ④ 當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí).經(jīng)檢驗(yàn)①-④也成立. ∵│OQ│·│OP│=│OR│2 ∴·. 將代入上式.化簡(jiǎn)整理得 . 因x與xP同號(hào)或y與yP同號(hào).以及③.④知2x+3y＞0. ∴點(diǎn)Q的軌跡方程為=1.其中 點(diǎn)Q的軌跡是以(1.1)為中心.長(zhǎng)短半軸分別為和且長(zhǎng)軸平行于x軸的橢圓. 解法二:由題設(shè)知點(diǎn)Q不在原點(diǎn). 設(shè)P.R.Q的坐標(biāo)分別為(xP.yP).(xR.yR).(x,y)其中x.y不同時(shí)為零. 設(shè)OP寫x軸正方向的夾角為α.則有 xP=│OP│cosα.yP=│OP│sinα, xR=│OR│cosα.yR=│OR│sinα, x=│OQ│cosα.y=│OQ│sinα, 又│OP│·│OQ│=│OR│2.可得 ① ② ∵點(diǎn)P在直線l上.點(diǎn)R在橢圓上. ∴.將代 入.得 =1.. ∴Q點(diǎn)的軌跡是以(1.1)為中心.長(zhǎng)短半軸分別為和且長(zhǎng)軸平行于x軸的橢圓. 例26 已知直線L過坐標(biāo)原點(diǎn).拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn).焦 點(diǎn)在x軸正半軸上.若點(diǎn)A關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)都在C上.求直線L和拋物線的 方程. 解法一:如圖. 由題意可設(shè)拋物線C的方程為y2=2px .且x軸和y軸不是所求直線.又l過原點(diǎn).所 以可設(shè)l的方程y=kx ① 設(shè)A′.B′分別是A.B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn).則有. A′A⊥l.直線AA′的方程為 y=-(x+1).② 由①.②聯(lián)立得AA′與l的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-.-). 由M為AA′的中點(diǎn).得點(diǎn)A′的坐標(biāo)為. xA′=2(-)+1=. yA′=2()+0=-③ 同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(.). ∵A′.B′均在拋物線y2=2px 上. ∴(-)2=2p·.知k≠±1 .p=. 同理()2=2p·.得p=. ∴. 整理得k2-k-1=0. 解得k1=.k2=. 但當(dāng)k=時(shí). =-＜0.與A′在拋物線y2=2px上矛盾.故舍去. 把k=代入p=. ∴直線方程為y=x.拋物線方程為y2=x. 解法二:設(shè)點(diǎn)A.B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′(x1.y1).B′(x2.y2).則有 │OA′│=│OA│=1.│OB′│=│OB│=8 設(shè)x軸正向到OB′的轉(zhuǎn)角為α.則有 x2=8cosα.y2=8sinα ① ∵A′.B′是A.B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn). 又∠BOA是直角. ∴∠B′OA′為直角.得 x1=cos(α-)=sin α.y1=sin(α-)=-cosα ② 由題意知.x1＞0.x2＞0.故α為第一象限角. ∵A′.B′都在拋物線y2=2px上. ∴cos2α=2p·sinα.64sin2α=2p· cosα ∴8sin3α=cos3α.得2sinα=c osα 解得sinα=.cosα=. 代入cos2α=2psinα.得p=. ∴拋物線方程為y2=x. ∵直線l平分∠BOB′. ∴l(xiāng)的斜率k=tg(α+(-α))=tg(+) =. ∴ 直線l的方程為y=x. 例27 在面積為1的△PMN中.tgM=.tgN=-2.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.求出M.N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓方 程. 解:如圖 以MN所在直線為x軸.以線段MN的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系. 設(shè)以M.N為焦點(diǎn)且過P點(diǎn)的橢圓的方程為 =1 點(diǎn)M.N的坐標(biāo)分別為. 由tgM=.tg∠PNx=tg=2.得 直線PM和直線PN的方程分別為 y= . 將兩方程聯(lián)立得.即P(c,c). 已知△MNP的面積為1. ∴1=|MN|·yP=·2c·c=c2. 得c=.P(.). ∵|PM|= =. |PN|= =. ∴2a=|PM|+|PN|=,a=. b2=a2-c2=()2-()2=3 . ∴=1為所求橢圓方程. 例28 自點(diǎn)A發(fā)出的光線L射到x軸上.被x軸反射.其反射光線所在直 線與圓x2+y2-4x-4y+7＝0相切.求光線L所在的直線方程. 解 設(shè)反射光線為L(zhǎng)′ 由于 L和L′關(guān)于x軸對(duì)稱.L過點(diǎn)A.點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′. 于是 L′過A. 設(shè)L′的斜率為k.則L′的方程為 y-］.即kx-y+3k-3＝0. 已知圓方程即(x-2)2+(y-2)2＝1.圓心O的坐標(biāo)為(2.2).半徑r＝1 因L′和已知圓相切.則O到L′的距離等于半徑r＝1 即 整理得12k2-25k+12＝0 解得k＝或k＝ L′的方程為y+3＝ (x+3);或y+3＝ (x+3). 即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L和L′關(guān)于x軸對(duì)稱 故L的方程為4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0. 例29 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O.焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.直線y=x+1 與該橢圓相交于P和Q.且OP⊥OQ.|PQ|=.求橢圓的方程. 解:設(shè)所求橢圓的方程為=1. 依題意知.點(diǎn)P.Q的坐標(biāo)滿足方程組: 將②代入①.整理得 (a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0. ③ 設(shè)方程③的兩個(gè)根分別為x1.x2.則直線y=x+1和橢圓的交點(diǎn)為. P(x1,x1+1).Q(x2,x2+1) 由題設(shè)OP⊥OQ.|OP|=.可得 整理得 解這個(gè)方程組.得 或 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系.由(3)式得 (Ⅰ) 或 (Ⅱ) 解方程組得 或 故所求橢圓方程為 =1.或=1. 例30 如圖所示.給出定點(diǎn)A和直線l∶x＝-1.B是直線l上的動(dòng) 點(diǎn).∠BOA的角平分線交AB于C.求點(diǎn)C的軌跡方程.并討論方程表示曲線類型與a值的關(guān)系. 本小題主要考查曲線與方程.直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)以及求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本技能和綜合 運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力. 解法一 依題意.記B.則直線OA和OB的方程分別為y＝0和y＝-bx. 設(shè)點(diǎn)C(x,y).則有0≤x＜a.則OC平分∠AOB.知點(diǎn)C到OA.OB距離相等.根據(jù)點(diǎn)到直線的距 離公式得 |y|＝ ① 依題設(shè).點(diǎn)C在直線AB上.故有 y＝- (x-a) 由x-a≠0得b＝- ② 將②式代入①式得 y2［1+］＝［y-］2 整理得 y2［(1-a)x2-2ax+(1+a)y2］＝0 若y≠0,則(1-a)x2-2ax+(1+a)y2＝0(0＜x＜a＝, 若y=0.則b＝0,∠AOB＝π.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0.0).滿足上式. 綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2＝0. (Ⅰ)當(dāng)a＝1時(shí).軌跡方程化為y＝x; ③ 此時(shí).方程③表示拋物線孤段, (Ⅱ)當(dāng)a≠1時(shí).軌跡方程化為 ＝1. ④ 所以.當(dāng)0＜a＜1時(shí).方程④表示橢圓弧段. 當(dāng)a＞1時(shí).方程④表示雙曲線一支的弧段. 解法二 如圖所示.設(shè)D是I與x軸的交點(diǎn).過點(diǎn)C作CE⊥x軸.E是垂足. (Ⅰ)當(dāng)|BD|≠0時(shí).設(shè)點(diǎn)C(x,y).則0＜x＜a,y≠0. 由CE∥BD得 |BD|＝(1+a) 因 ∠COA＝∠COB＝∠COD-∠BOD 則 2∠COA＝π-∠BOD, tg＝,tg＝-tg∠BOD 又因 tg∠COA＝,tg∠BOD＝ (1+a). 故 (1+a). 整理得 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2＝0 . (Ⅱ)當(dāng)|BD|＝0時(shí).∠BOA＝π.則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0.0).滿足上式. 綜合.得點(diǎn)C的軌跡方程為 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2＝0(0≤x＜a＝. 例31 已知點(diǎn)P在直線x=2上移動(dòng).直線l通過原點(diǎn)且OP垂直 .過點(diǎn)A(1.0)和點(diǎn)P的直線m和直線l交于點(diǎn)Q.求點(diǎn)Q的軌跡方程.并指出該軌跡的名稱和它 的焦點(diǎn)坐標(biāo). 解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2.y1).則直線OP的斜率 kOP=. ∵l⊥直線OP. ∴直線l的斜率k1滿足kOP·k1=-1.即·k1=-1.得k 1=-. 又直線l過原點(diǎn).所以l的方程為y=-x. ∵直線m過點(diǎn)A(1.0).P(2.y1). ∴m的方程為y1x-y-y1=0 由l的方程得y1=-代入m的方程得--y+=0.即2x2+y2-2x=0. 顯然點(diǎn)Q與點(diǎn)A(1.0)不重合.故x≠1. 又2x2+y2-2x=0可化為 =1 . ∴Q點(diǎn)的軌跡是挖去點(diǎn)(1.0)的橢圓.該橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(.)和(.-). [同步達(dá)綱練習(xí)] 【查看更多】

 

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