已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋mx，當x＝0時，函數(shù)f(x)取得極大值．

(Ⅰ)求實數(shù)m的值；

(Ⅱ)已知結(jié)論∶若函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋mx在區(qū)間(a，b)內(nèi)導數(shù)都存在，且a＞－1，則存在x₀∈(a，b)，使得．試用這個結(jié)論證明∶若－1＜x₁＜x₂，函數(shù)，則對任意x∈(x₁，x₂)，都有f(x)＞g(x)；

(Ⅲ)已知正數(shù)λ₁，λ₂，…λ_n，滿足λ₁＋λ₂＋…＋λ_n＝1，求證∶當n≥2，n∈N時，對任意大于－1，且互不相等的實數(shù)x₁，x₂，…，x_n，都有f(λ₁x₁＋λ₂x₂＋…＋λ_nx_n)＞λ₁f(x₁)＋λ₂f(x₂)＋…＋λ_nf(x_n)．

A是定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ(x)組成的集合：

①對任意的x∈[1，2]，都有φ(2x)∈(1，2)；

②存在常數(shù)L(0＜L＜1)，使得對任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|φ(2x₁)－φ(2x₂)|≤L|x₁－x₂|．

(Ⅰ)設(shè)φ(2x)＝，x∈[2，4]，證明：φ(x)∈A

(Ⅱ)設(shè)φ(x)∈A，如果存在x₀∈(1，2)，使得x₀＝φ(2x₀)，那么這樣的x₀是唯一的；

(Ⅲ)設(shè)φ(x)∈A，任取x₁∈(1，2)，令x_n－1＝φ(2x_n)，n＝1，2，…，證明：給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p，成立不等式|x_k+p－x_k|≤|x₂－x₁|