設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意n∈N^*，S_n是

1

2

a_n²和a_n的等差中項(xiàng)
（Ⅰ）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：

1

2

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1；
（Ⅲ）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對(duì)滿(mǎn)足n＞m的一切正整數(shù)n，不等式2Sn-4200＞

a 2 n

2

恒成立，試問(wèn)：這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)．

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意n∈N^*，S_n是

1

2

a_n²和a_n的等差中項(xiàng)
（Ⅰ）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：

1

2

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1；
（Ⅲ）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對(duì)滿(mǎn)足n＞m的一切正整數(shù)n，不等式2Sn-4200＞

a 2n

2

恒成立，試問(wèn)：這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)．

對(duì)于數(shù)列{a_n}，若存在確定的自然數(shù)T＞0，使得對(duì)任意的自然數(shù)n∈N^*，都有：a_n+T=a_n成立，則稱(chēng)數(shù)列{a_n}是以T為周期的周期數(shù)列．
（1）記S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，若{a_n}滿(mǎn)足a_n+2=a_n+1-a_n，且S₂=1007，S₃=2010，求證：數(shù)列{a_n}是以6為周期的周期數(shù)列，并求S₂₀₀₉；
（2）若{a_n}滿(mǎn)足a1=p∈[0， 

1

2

)，且a_n+1=-2a_n²+2a_n，試判斷{a_n}是否為周期數(shù)列，且說(shuō)明理由；
（3）由（1）得數(shù)列{a_n}，又設(shè)數(shù)列{b_n}，其中bn=an+2n+

2009

2n

，問(wèn)是否存在最小的自然數(shù)n（n∈N^*），使得對(duì)一切自然數(shù)m≥n，都有b_m＞2009？請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知數(shù)列{x_n}中，x₁，x₅是方程log₂²x-8log₂x+12=0的兩根，等差數(shù)列{y_n}滿(mǎn)足y_n=log₂x_n，且其公差為負(fù)數(shù)，
（1）求數(shù)列{y_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：數(shù)列{x_n}為等比數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列{x_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)一切正整數(shù)n，S_n＜a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．