解: (1) 將條件變?yōu)?1-=.因此{1-}為一個等比數(shù)列.其首項為 1-=.公比.從而1-=.據(jù)此得an=----1° (2) 證:據(jù)1°得.a1·a2·-an= 為證a1·a2·--an<2·n! 只要證nÎN*時有>----2° 顯然.左端每個因式都是正數(shù).先證明.對每個nÎN*.有 ³1-()----3° 用數(shù)學歸納法證明3°式: (i) n=1時.3°式顯然成立. (ii) 設n=k時.3°式成立. 即³1-() 則當n=k+1時. ³(1-())·() =1-()-+() ³1-(+)即當n=k+1時.3°式也成立. 故對一切nÎN*.3°式都成立. 利用3°得.³1-()=1- =1-> 故2°式成立.從而結論成立. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

(1)已知sin+cos(0<<π),求tan及sin3-cos3的值.

(2)在上面的題目中,直接給出了已知sinα±cosα的值,然后利用sinα±cosα與sinα·cosα的關系使題目得到解決.本題也可以變換條件,由于sinα、cosα和差與積有一定的關系,因此,也可以將它們與一元二次方程聯(lián)系在一起.例如:關于x的方程2x2-(+1)x+m=0的兩根為sinα和cosα,且α∈(0,2π),

(1)求的值;

(2)求m的值;

(3)求方程的兩根及此時的角α.

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雞兔同籠

  你以前聽說過“雞兔同籠”問題嗎?這個問題,是我國古代著名趣題之一.大約在1 500年前,《孫子算經(jīng)》中就記載了這個有趣的問題.書中是這樣敘述的:“今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雞兔各幾何?”這四句話的意思是:有若干只雞兔同在一個籠子里,從上面數(shù),有35個頭;從下面數(shù),有94只腳.求籠中各有幾只雞和兔?

  你會解答這個問題嗎?你想知道《孫子算經(jīng)》中是如何解答這個問題的嗎?

  解答思路是這樣的:假如砍去每只雞、每只兔一半的腳,則每只雞就變成了“獨角雞”,每只兔就變成了“雙腳兔”.這樣,(1)雞和兔的腳的總數(shù)就由94只變成了47只;(2)如果籠子里有一只兔子,則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1.因此,腳的總只數(shù)47與總頭數(shù)35的差,就是兔子的只數(shù),即47-35=12(只).顯然,雞的只數(shù)就是35-12=23(只)了.

  這一思路新穎而奇特,其“砍足法”也令古今中外數(shù)學家贊嘆不已.這種思維方法叫化歸法.

  化歸法就是在解決問題時,先不對問題采取直接的分析,而是將題中的條件或問題進行變形,使之轉(zhuǎn)化,直到最終把它歸成某個已經(jīng)解決的問題.

1.古代《孫子算經(jīng)》就有這么好的解法——化歸法,這一思路新穎而奇特,其“砍足法”也令古今中外數(shù)學家贊嘆不已.對此,談談你的看法.

2.我國古代數(shù)學研究一直處于領先地位,現(xiàn)在有所落后了,對此,我們不應只感嘆古人的偉大,而更應該樹立為科學而奮斗終身的信心,同學們,你們準備好了嗎?

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