(三)鞏固練習(xí)

1．已知圓的方程是x2+y2=1，求：

(1)斜率為1的切線方程；

2．(1)圓(x-1)2+(y+2)2=4上的點(diǎn)到直線2x-y+1=0的最短距離是

(2)兩圓C1∶x2+y2-4x+2y+4=0與C2∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置關(guān)系是______．(內(nèi)切)

由學(xué)生口答．

3．未經(jīng)過原點(diǎn)，且過圓x2+y2+8x-6y+21=0和直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)的圓的方程．

分析：若要先求出直線和圓的交點(diǎn)，根據(jù)圓的一般方程，由三點(diǎn)可求得圓的方程；若沒過交點(diǎn)的圓系方程，由此圓系過原點(diǎn)可確定參數(shù)λ，從而求得圓的方程．由兩個(gè)同學(xué)演板給出兩種解法：

解法一：

設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0．

∵(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三點(diǎn)在圓上，

解法二：

設(shè)過交點(diǎn)的圓系方程為：

x2+y2+8x-6y+21+λ(x-y+5)=0．

(二)應(yīng)用舉例

和切點(diǎn)坐標(biāo)．

分析：求已知圓的切線問題，基本思路一般有兩個(gè)方面：(1)從代數(shù)特征分析；(2)從幾何特征分析．一般來說，從幾何特征分析計(jì)算量要小些．該例題由學(xué)生演板完成．

∵圓心O(0，0)到切線的距離為4，

把這兩個(gè)切線方程寫成

注意到過圓x2+y2=r2上的一點(diǎn)P(x0，y0)的切線的方程為x0x+y0y=r2，

例2　 已知實(shí)數(shù)A、B、C滿足A2+B2=2C2≠0，求證直線Ax+By+C=0與圓x2+y2=1交于不同的兩點(diǎn)P、Q，并求弦PQ的長．

分析：證明直線與圓相交既可以用代數(shù)方法列方程組、消元、證明△＞0，又可以用幾何方法證明圓心到直線的距離小于圓半徑，由教師完成．

證：設(shè)圓心O(0，0)到直線Ax+By+C=0的距離為d，則d=

∴直線Ax+By+C=0與圓x2+y1=1相交于兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q．

例3　 求以圓C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦為直徑的圓的方程．

解法一：

相減得公共弦所在直線方程為4x+3y-2=0．

∵所求圓以AB為直徑，

于是圓的方程為(x-2)2+(y+2)2=25．

解法二：

設(shè)所求圓的方程為：

x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ為參數(shù))

∵圓心C應(yīng)在公共弦AB所在直線上，

∴ 所求圓的方程為x2+y2-4x+4y-17=0．

小結(jié)：

解法一體現(xiàn)了求圓的相交弦所在直線方程的方法；解法二采取了圓系方程求待定系數(shù)，解法比較簡練．

(一)知識(shí)準(zhǔn)備

我們今天研究的課題是“點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系”，為了更好地講解這個(gè)課題，我們先復(fù)習(xí)歸納一下點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系中的一些知識(shí)．

1．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，點(diǎn)M(x0，y0)到圓心的距離為d，則有：

(1)d＞r 點(diǎn)M在圓外；

(2)d=r 點(diǎn)M在圓上；

(3)d＜r 點(diǎn)M在圓內(nèi)．

2．直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓 C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直線l的方程為Ax+By+C=0，圓心(a，

判別式為△，則有：

(1)d＜r 直線與圓相交；

(2)d=r 直線與圓相切；

(3)d＜r 直線與圓相離，即幾何特征；

或(1)△＞0 直線與圓相交；

(2)△=0 直線與圓相切；

(3)△＜0 直線與圓相離，即代數(shù)特征，

3．圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圓C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且設(shè)兩圓圓心距為d，則有：

(1)d=k+r 兩圓外切；

(2)d=k-r 兩圓內(nèi)切；

(3)d＞k+r 兩圓外離；

(4)d＜k+r 兩圓內(nèi)含；

(5)k-r＜d＜k+r 兩圓相交．

4．其他

(1)過圓上一點(diǎn)的切線方程：

①圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則此點(diǎn)的切線方程為x0x+y0y=r2(課本命題)．

②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣)．

(2)相交兩圓的公共弦所在直線方程：

設(shè)圓C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若兩圓相交，則過兩圓交點(diǎn)的直線方程為(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．

(3)圓系方程：

①設(shè)圓C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若兩圓相交，則過交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ為參數(shù)，圓系中不包括圓C2，λ=-1為兩圓的公共弦所在直線方程)．

②設(shè)圓C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0與直線l：Ax+By+C=0，若直線與圓相交，則過交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ為參數(shù))．

歸納講授、學(xué)生演板、重點(diǎn)講解、鞏固練習(xí)．

2．難點(diǎn)：圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程的證明．

(解決辦法：仿照課本上圓x2+y2=r2上一點(diǎn)(x0，y0)切線方程的證明．)

1．重點(diǎn)：(1)直線和圓的相切(圓的切線方程)、相交(弦長問題)；(2)圓系方程應(yīng)用．

(解決辦法：(1)使學(xué)生掌握相切的幾何特征和代數(shù)特征，過圓上一點(diǎn)的圓的代線方程，弦長計(jì)算問題；(2)給學(xué)生介紹圓與圓相交的圓系方程以及直線與圓相交的圓系方程．)

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系在初中平面幾何已進(jìn)行了分析，現(xiàn)在是用代數(shù)方法來分析幾何問題，是平面幾何問題的深化．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓位置關(guān)系的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用圓有關(guān)方面知識(shí)的能力．

(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系；過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程，判斷直線與圓相交、相切、相離的代數(shù)方法與幾何方法；兩圓位置關(guān)系的幾何特征和代數(shù)特征．

5．正方形中心在C(-1，0)，一條邊所在直線方程是3x-y二0，求其它三邊所在的直線方程．

解：此題是例3交換條件與結(jié)論后的題：

x+3y-5=0，　 x+3y+7=0，　 3x-y+9=0．