21．(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù).

(Ⅰ)在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖像；

(Ⅱ)設(shè)集合. 試判斷集合和之間的關(guān)系，并給出證明；

(Ⅲ)當(dāng)時，求證：在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方

解：(Ⅰ)

(Ⅱ)方程的解分別是和，由于在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，因此

.　　　　　　　　　　　　

　　 由于.　　　　　　　　　　　　　

(Ⅲ)[解法一] 當(dāng)時，.

　　　　　　　 ，　　　　　　　　　　　　　　　

. 又，

　①　 當(dāng)，即時，取，

　　　 .

　　　 ，

　　　 則.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　

　　　 ②　 當(dāng)，即時，取，　　 ＝.

　　 由 ①、②可知，當(dāng)時，，.

因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.　

[解法二] 當(dāng)時，.

由 得，

　　 令 ，解得 或，　　　　　　　　

在區(qū)間上，當(dāng)時，的圖像與函數(shù)的圖像只交于一點(diǎn)；

當(dāng)時，的圖像與函數(shù)的圖像沒有交點(diǎn).　　

如圖可知，由于直線過點(diǎn)，當(dāng)時，直線是由直線繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.

20．(本小題滿分14分)已知：定義在R上的函數(shù)f (x)為奇函數(shù)，且在上是增函數(shù).

　　 (Ⅰ)求證：f (x)在上也是增函數(shù)；

　　 (Ⅱ)對任意，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使不等式 恒成立.

解：(Ⅰ)證明：設(shè)，且，

則，且.　　 　　　　　　　　

∵在上是增函數(shù)，∴.　　　

又為奇函數(shù)，∴,　　　　　　　　　　　

∴, 即在上也是增函數(shù).　　　

(Ⅱ)∵函數(shù)在和上是增函數(shù)，且在R上是奇函數(shù)，

∴在上是增函數(shù).　　　　　　　　　　

于是

.　　　

∵當(dāng)時，的最大值為，∴當(dāng)時，不等式恒成立.　

19．(本小題滿分14分)設(shè)為公差大于0的等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)的和.

已知S₄=24，

　 (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式 ；

(Ⅱ)若的前n項(xiàng)和

解：(Ⅰ)　

由

(Ⅱ)　　

18．(本小題滿分16分)已知函數(shù).

　 (Ⅰ)求的最小正周期及遞減區(qū)間；　　

(Ⅱ)指出將函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到函數(shù)的圖象；

(Ⅲ)若, 求最大值、最小值．

解：(Ⅰ)

　　 ∴

遞減區(qū)間

(Ⅱ)先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移個單位，再把縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的倍(橫坐標(biāo)不變)而得到函數(shù)的圖象

(Ⅲ)

　當(dāng)　 即時

當(dāng)　 即時

17．(本小題滿分12分)有四個正數(shù)，前三數(shù)成等比數(shù)列，其和為；后三數(shù)成等差數(shù)列，其和為．

(Ⅰ)求此四數(shù)；

(Ⅱ)分別求以為前三項(xiàng)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和與以為前三項(xiàng)的等差數(shù)列的

前項(xiàng)和；

(Ⅲ)比較與的大�。�

解：(Ⅰ)依題意有

解得四數(shù)依次為或，因?yàn)樗臄?shù)均為正數(shù)。所以所求四數(shù)依次為

(Ⅱ)，

(Ⅲ)當(dāng)時，

　　　 當(dāng)時，

16．給出下列四個函數(shù)：①;②;③;④,對于其定義域內(nèi)的任意的成立的函數(shù)為　 ②③　 　　　

15．定義運(yùn)算為：，例如，，則函數(shù)的值域[－1，]　　

14．已知且則A∩B=　

13．已知是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象的對稱軸是

12．一條信息，若一人得知后，一小時內(nèi)將信息傳給兩人，這兩人又在一小時內(nèi)各傳給未知信息的另外兩人.如此下去，要傳遍55人的班級所需時間大約為__5_____小時.