題目列表(包括答案和解析)
1. 已知二次函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),并且α、β(α<β)是方程f(x)=0的兩根,則a、b、α、β的大小關系是
A.α<a<b<β B.a<α<β<b
C.a<α<b<β D.α<a<β<b
(13)用平面
截半徑為R的球,如果球心到平面
的距離為
,那么截得小圓的面積與球的表面積的比值為______________.
講解:設截得小圓的半徑是,球的半徑是R, 畫一個軸截面圖形. 在
中,顯然,
,于是
故截得小圓的面積與球的表面積的比值為,應填
評注:題中的就是我們常用的三角板模型,它是高考的熱門話題.
(14)函數(shù)在區(qū)間
上的最小值為_____________.
講解:將函數(shù)式變形為. 由
,得
. 于是,函數(shù)的最小值為
應填
評注:如果畫出函數(shù)的圖象,就可看出最小值對應的點是函數(shù)圖象的左端點.
(15)已知函數(shù)是奇函數(shù),當
時,
. 設
的反函數(shù)是
,則
________.
講解:易求得:當時,
. 這樣由
,解得
應填
評注:反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域.
(16)設P是曲線上的一個動點,則點P到點
的距離與點P到
軸的距離之和的最小值是______________.
講解:顯然,
軸是拋物線
的準線,而
是拋物線的焦點,于是
.
如圖,
應填
評注:如果聯(lián)想到拋物線的定義,就容易找到解題的開竅點.
(1)設集合,
,則集合
中元素的個數(shù)為( )
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
講解:在同一坐標系中,作出單位圓和拋物線
的圖形,易知它們有兩個交點,應選B.
評注:也可通過解如下方程組求解:
(2)函數(shù)的最小正周期是( )
A. B.
C.
D.
講解:作出函數(shù)的圖象,易知最小正周期是
,應選C.
評注:函數(shù)的最小正周期是函數(shù)
的一半.
(3) 設數(shù)列是等差數(shù)列,且
,
是數(shù)列
的前
項的和,則( )
A. B.
C.
D.
講解:由題意得 即
于是
,應選B.
評注:一般解法是:設等差數(shù)列的公差是
,則有已知,得
解出
于是
從而 ,應選B.
(4) 圓在點
處的切線方程是( )
A. B.
C. D.
講解:顯然,點的坐標不適合方程A, C,從而應否定A, C; 將圓的方程化為
,圓心
到直線
的距離為
,不是圓的半徑2,故應選D.
評注:一般解法為:設圓的切線方程是,即
,
則圓心到切線
的距離為
解出
(5) 函數(shù)的定義域是( )
A. B.
C. D.
講解: 取,有
,否定C, D; 取
,有
,否定B. 應選A.
評注:一般解法為:由題意得 ,即
, 等價于
.
(6) 設復數(shù)的幅角的主值為
,虛部為
,則
( )
A. B.
C. D.
講解:設復數(shù), 則有
,
于是
=
.應選A.
評注:也可用代數(shù)形式:
(7) 設雙曲線的焦點在軸上,兩條漸近線為
,則雙曲線的離心率
( )
A. 5 B. C.
D.
講解:設雙曲線的方程是,其兩條漸近線為
,于是
,即有
,有
,
,即
.應選C.
評注:雙曲線對于的兩條漸近線為
,也就是
.
(8) 不等式的解集為( )
A. B.
C.
D.
講解:取,適合不等式,否定C; 取
,適合不等式,否定A, B. 應選D.
評注:一種直接解法是:由原不等式得
或
,即
或
(9) 正三棱錐的底面邊長為2,側面均為直角三角形,則此三棱柱的體積為( )
A. B.
C.
D.
講解:顯然,側面是等腰直角三角形,其直角邊為,于是三棱柱的體積為
應選C.
評注:本題的模型是正方體截下的一個,教室的一個墻角. 當中的體積計算需要轉換角度思考問題.
(10) 在中,
,則邊
上的高為( )
A. B.
C.
D.
講解:由余弦定理 ,得
,有
.應選B.
評注:請讀者自己補上幾何圖形.
(11) 設函數(shù)則使得
的自變量
的取值范圍為( )
A.
B.
C. D.
講解:取,有
成立,否定C, D;取
,
有成立,否定B. 應選A.
評注:分段函數(shù)�?汲P�. 本題也可給出直接解法,圖象解法.
(12) 將4名教師分配到3所中學任教,每所中學至少1名教師,則不同的分配方案共有( )
A. 12 種 B. 24 種 C 36 種 D. 48 種
講解: 本題可以給出一種直接解法 應選C.
評注: 請讀者用文字語言表述的實際意義. 再想想:解法
是否正確?
22、(14分)已知數(shù)列的前
項和
滿足
(1)
寫出數(shù)列的前三項
;
(2)
求數(shù)列的通項公式;
(3)
證明:對任意的整數(shù),有
.
18、(12分)解方程
19(12分)某村計劃建造一個室內面積為800的矩形蔬菜溫室。在溫室內,沿左、右兩端與后側內墻各保留1
寬的通道,沿前側內墻保留3
寬的空地。當矩形溫室的邊長各為多少時?蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少?
20(12分)三棱錐P-ABC中,側面PAC與底面ABC垂直,PA=PB=PC=3,
(1) 求證:AB ⊥ BC;
(2)
設AB=BC=
,求AC與平面PBC所成角的大小.
21(12分)設橢圓的兩個焦點是
與
,且橢圓上存在一點
,使得直線
與
垂直.
(1)求實數(shù)的取值范圍;
(2)設是相應于焦點
的準線,直線
與
相交于點
,若
,求直線
的方程.
17、(12分)已知為銳角,且
,求
的值。
16、設是曲線
上的一個動點,則點
到點
的距離與點
到
軸的距離之和的最小值為
.
15、已知函數(shù)是奇函數(shù),當
時,
,設
的反函數(shù)是
,則
.
14、函數(shù)在區(qū)間
上的最小值為
.
13、用平面截半徑為
的球,如果球心到平面
的距離為
,那么截得小圓的面積與球的表面積的比值為
.
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