⑴、設(shè)集合，，則

A．　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　 D．

⑵、已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則

A．　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　 D．

⑶、雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則

A．　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　 D．

⑷、如果復(fù)數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑸、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為

A．　　　　　　 B．

C．　　　　　　 D．

⑹、的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑺、已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　　 D．

⑻、拋物線上的點到直線距離的最小值是

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．

⑼、設(shè)平面向量、、的和。如果向量、、，滿足，且順時針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則

A．　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　 D．

⑽、設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，，則

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑾、用長度分別為2、3、4、5、6(單位：)的5根細木棒圍成一個三角形(允許連接，但不允許折斷)，能夠得到的三角形的最大面積為

A．　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

⑿、設(shè)集合。選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有

A．　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　 D．

普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學

第Ⅱ卷

22、解：

(1)　　　 將條件變?yōu)椋?－＝，因此{1－}為一個等比數(shù)列，其首項為

1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得a_n＝(n³1)…………1°

(2)　　　 證：據(jù)1°得，a₁·a₂·…a_n＝

為證a₁·a₂·……a_n<2·n！

只要證nÎN^*時有>…………2°

顯然，左端每個因式都是正數(shù)，先證明，對每個nÎN^*，有

³1－()…………3°

用數(shù)學歸納法證明3°式：

(i)　　　　　　　　　　 n＝1時，3°式顯然成立，

(ii)　　　　　　　　　 設(shè)n＝k時，3°式成立，

即³1－()

則當n＝k+1時，

³(1－())·()

＝1－()－+()

³1－(+)即當n＝k+1時，3°式也成立。

故對一切nÎN^*，3°式都成立。

利用3°得，³1－()＝1－

＝1－>

故2°式成立，從而結(jié)論成立。

b²(x₁－x₂)2x+a²(y₁－y₂)2y＝0

\b²x²+a²y²－b²cx＝0…………(3)

2°當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程(3)

故所求點P的軌跡方程為：b²x²+a²y²－b²cx＝0

(2)因為，橢圓　 Q右準線l方程是x＝，原點距l

的距離為，由于c²＝a²－b²，a²＝1+cosq+sinq，b²＝sinq(0<q£)

則＝＝2sin(+)

當q＝時，上式達到最大值。此時a²＝2，b²＝1，c＝1，D(2，0)，|DF|＝1

設(shè)橢圓Q：上的點 A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，三角形ABD的面積

S＝|y₁|+|y₂|＝|y₁－y₂|

設(shè)直線m的方程為x＝ky+1，代入中，得(2+k²)y²+2ky－1＝0

由韋達定理得y₁+y₂＝，y₁y₂＝，

4S²＝(y₁－y₂)²＝(y₁+y₂)²－4 y₁y₂＝

令t＝k²+1³1，得4S²＝，當t＝1，k＝0時取等號。

因此，當直線m繞點F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時，三角形ABD的面積最大。

22、(本大題滿分14分)

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁＝，且a_n＝

(3)　　　 求數(shù)列{a_n}的通項公式；

(4)　　　 證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a₁·a₂·……a_n<2·n！

21、解：如圖，(1)設(shè)橢圓Q：(a>b>0)

上的點A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，又設(shè)P點坐標為P(x，y)，則

1°當AB不垂直x軸時，x₁¹x₂，

21、(本大題滿分12分)

如圖，橢圓Q：(a>b>0)的右焦點F(c，0)，過點F的一動直線m繞點F轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于A、B兩點，P是線段AB的中點

(3)　　　 求點P的軌跡H的方程

(4)　　　 在Q的方程中，令a²＝1+cosq+sinq，b²＝sinq(0<q£ )，確定q的值，使原點距橢圓的右準線l最遠，此時，設(shè)l與x軸交點為D，當直線m繞點F轉(zhuǎn)動到什么位置時，三角形ABD的面積最大？

20、解法一：

(1)　　　 方法一：作AH^面BCD于H，連DH。

AB^BDÞHB^BD，又AD＝，BD＝1

\AB＝＝BC＝AC　 \BD^DC

又BD＝CD，則BHCD是正方形，則DH^BC\AD^BC

方法二：取BC的中點O，連AO、DO

則有AO^BC，DO^BC，\BC^面AOD

\BC^AD

(2)　　　 作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，則ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，因為AB＝AC＝BC＝\M是AC的中點，且MN¤¤CD，則BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cosÐBMN＝

\ÐBMN＝arccos

(3)　　　 設(shè)E是所求的點，作EF^CH于F，連FD。則EF¤¤AH，\EF^面BCD，ÐEDF就是ED與面BCD所成的角，則ÐEDF＝30°。設(shè)EF＝x，易得AH＝HC＝1，則CF＝x，F(xiàn)D＝，\tanÐEDF＝＝＝解得x＝，則CE＝x＝1

故線段AC上存在E點，且CE＝1時，ED與面BCD成30°角。

解法二：此題也可用空間向量求解，解答略

20、(本小題滿分12分)

如圖，在三棱錐A－BCD中，側(cè)面ABD、ACD

是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，

且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側(cè)面是正三角形

(4)　　　 求證：AD^BC

(5)　　　 求二面角B－AC－D的大小

(6)　　　 在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD

成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。

19、解：

(1)　　　 因為G是邊長為1的正三角形ABC的中心，

所以　 AG＝，ÐMAG＝，

由正弦定理

得

則S₁＝GM·GA·sina＝

同理可求得S₂＝

(2)　　　 y＝＝

＝72(3+cot²a)因為，所以當a＝或a＝時，y取得最大值y_max＝240

當a＝時，y取得最小值y_min＝216

19、(本小題滿分12分)

如圖，已知△ABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是

邊AB、AC上的點，線段MN經(jīng)過△ABC的中心G，

設(shè)ÐMGA＝a()

(3)　　　 試將△AGM、△AGN的面積(分別記為S₁與S₂)

表示為a的函數(shù)

(4)　　　 求y＝的最大值與最小值

18、解：(1)x的所有可能的取值為0，10，20，50，60

分布列為

x	0	10	20	50	60
P

(2)Ex＝3.3