數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an+1=

an2 4an2+1

（n∈N₊），
（1）證明{

1

an2

}為等差數(shù)列并求a_n；
（2）設(shè)cn=2n-3(

1

an2

+3)，數(shù)列{c_n}的前n 項(xiàng)和為T_n，求T_n；
（3）設(shè)Sn=a12+a22+…+an2，b_n=S_2n+1-S_n，是否存在最小的正整數(shù)m，使對(duì)任意n∈N₊，有bn＜

m

25

成立？設(shè)若存在，求出m的值，若不存在，說(shuō)明理由．

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n（n∈N^*），點(diǎn)（a_n，S_n）在直線y=2x-3n上，
（1）若數(shù)列{a_n+c}成等比數(shù)列，求常數(shù)c的值；
（2）數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若b_n=

1

3

an+1，請(qǐng)求出一個(gè)滿足條件的指數(shù)函數(shù)g（x），使得對(duì)于任意的正整數(shù)n恒有

n

k=1

g(k)

(bk+1)(bk+1+1)

＜

1

3

成立，并加以證明．（其中∑為連加號(hào)，如：

n

i-1

an=a1+a2+…+an）

已知等差數(shù)列{a_n}的第二項(xiàng)為8，前10項(xiàng)之和為185，從{a_n}中依次取出第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)，┅，第2ⁿ項(xiàng)，┅，按原來(lái)的順序排成一個(gè)新的數(shù)列{b_n}．
（1）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和S_n；
（2）設(shè)T_n=n（9+a_n），試比較S_n和T_n的大小，并證明你的結(jié)論．

數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，n≥2時(shí)，an=

1

3

an-1+

2

3n-1

-

2

3

．?dāng)?shù)列{b_n}滿足：bn=3n-1(an+1)(n∈N*)．
（1）證明：{b_n}為等差數(shù)列，并求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{

an+1

n

}的前n項(xiàng)和為S_n，若不等式

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

成立（m，n為正整數(shù)）．求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（m，n）．