題目列表(包括答案和解析)
在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知DA=DC=4，DD1=3，求異面直線(xiàn)A1B與B1C所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．
（14分）已知
是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，高
。求：
⑴異面直線(xiàn)
與
所成的角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）；
⑵四面體
的體積。
一、填空題（本大題共11題，每小題5分，滿(mǎn)分55分）
1．
2．
3．
4．
5．
6．相離 7．
8．
9．
10．
11．
二、選擇題（本大題共4題，每小題5分，滿(mǎn)分20分）
12．B 13． D 14．D 15．C
三、解答題（本大題滿(mǎn)分75分）
16．（1）證明：易知
，又由
平面
，得
，從而
平面
，故
； （4分）
（2）解：延長(zhǎng)
交圓
于點(diǎn)
，連接
，
，則
，得
或它的補(bǔ)角為異面直線(xiàn)
與
所成的角.
（6分）
由題意
，解得
. （8分）
又
，
，得
，
，
（10分）
由余弦定理得
，得異面直線(xiàn) 與所成的角為
.
（12分）
17．解：（1）摸出的2個(gè)球?yàn)楫惿虻牟煌ǚN數(shù)為
種，從8個(gè)球中摸出2個(gè)球的不同摸法種數(shù)為
，故所求的概率為
； （6分）
（2）符合條件的摸法包括以下三種：一種是所摸得的3球中有1個(gè)紅球，1個(gè)黑球，1個(gè)白球，共有
種不同摸法，
（8分）
一種是所摸得的3球中有2個(gè)紅球，1個(gè)其它顏色球，共有
種不同摸法，
（10分）
一種是所摸得的3球均為紅球，共有
種不同摸法， （12分）
故符合條件的不同摸法共有
種.
（14分）
18．解：（1） 由已知
，
，相減得
，由
得
，又
，得
，故數(shù)列
是一個(gè)以為首項(xiàng)，以
為公比的等比數(shù)列.
（4分）
從而
；
（6分）
（2）
，
（7分）
又
，故
，
（11分）
于是
，
當(dāng)
，即
時(shí)，
，
當(dāng)
，即
時(shí)，
，
當(dāng)
，即
時(shí)，
不存在. （14分）
19．（1）證明：任取
，
，且
，
.
所以
在區(qū)間
上為增函數(shù). （5分）
函數(shù)在區(qū)間
上為減函數(shù).
（6分）
（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，相應(yīng)的函數(shù)值為
，在區(qū)間上為減函數(shù)，相應(yīng)的函數(shù)值為
，由題意函數(shù)的圖像與直線(xiàn)
有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故有
，
（8分）
易知
，
分別位于直線(xiàn)
的兩側(cè)，由
，得
，故
，
，又
，
兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程
，故得
，
，即
，
，（12分）
故
，
當(dāng)
時(shí)，
，
.
因此，
的取值范圍為
.
（17分）
20. 解：（1）設(shè)
，易知
，
，
，由題設(shè)
，
得
其中
，從而
，
，且
，
又由已知
，得
，
當(dāng)
時(shí)，
，此時(shí)
，得
，
又
，故
，
，
即
，
，
當(dāng)
時(shí)，點(diǎn)
為原點(diǎn)，
為
軸，
為
軸，點(diǎn)也為原點(diǎn)，從而點(diǎn)
也為原點(diǎn)，因此點(diǎn)的軌跡
的方程為，它表示以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以
為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)；
（4分）
（2）由題設(shè)，可設(shè)直線(xiàn)
的方程為
，直線(xiàn)
的方程為
，
，又設(shè)
、
，
則由
，消去，整理得
，
故
，同理
，
（7分）
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立，因此四邊形
面積
的最小值為
.
（9分）
（3）當(dāng)
時(shí)可設(shè)直線(xiàn)的方程為
，
由
，得
，
故
，
，
（13分）
，
當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立. （17分）
當(dāng)
時(shí)，易知
，
，得
，
故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)四邊形面積有最小值
.
（18分）
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