(I)證明平面平面ABC, (Ⅱ)求直線PB與平面PAC所成角的正弦值. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

平面ABDE⊥平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,四邊形ABDE是直角梯形,BD∥AE,BD⊥BA,BD=
12
AE=2
,O、M分別為CE、AB的中點(diǎn).
(I)求證:OD∥平面ABC;
(II)能否在EM上找一點(diǎn)N,使得ON⊥平面ABDE?若能,請指出點(diǎn)N的位置,并加以證明;若不能,請說明理由.

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平面ABDE⊥平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,四邊形ABDE是直角梯形,BDAE,BD⊥BA,BD=
1
2
AE=2
,O、M分別為CE、AB的中點(diǎn).
(I)求證:OD平面ABC;
(II)能否在EM上找一點(diǎn)N,使得ON⊥平面ABDE?若能,請指出點(diǎn)N的位置,并加以證明;若不能,請說明理由.
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在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(-1,0),(1,0),點(diǎn)G是△ABC的重心,y軸上一點(diǎn)M滿足GM∥AB,且|MC|=|MB|.
(I)求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡E的方程;
(II)不過點(diǎn)A的直線l:y=kx+b與軌跡E交于不同的兩點(diǎn)P、Q,當(dāng)
AP
AQ
=0時(shí),求k與b的關(guān)系,并證明直線l過定點(diǎn).

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在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(-1,0),(1,0),點(diǎn)G是△ABC的重心,y軸上一點(diǎn)M滿足GM∥AB,且|MC|=|MB|.
(I)求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡E的方程;
(II)不過點(diǎn)A的直線l:y=kx+b與軌跡E交于不同的兩點(diǎn)P、Q,當(dāng)數(shù)學(xué)公式=0時(shí),求k與b的關(guān)系,并證明直線l過定點(diǎn).

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在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(-1,0),(1,0),點(diǎn)G是△ABC的重心,y軸上一點(diǎn)M滿足GM∥AB,且|MC|=|MB|.
(I)求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡E的方程;
(II)不過點(diǎn)A的直線l:y=kx+b與軌跡E交于不同的兩點(diǎn)P、Q,當(dāng)=0時(shí),求k與b的關(guān)系,并證明直線l過定點(diǎn).

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一、選擇題:(每小題5分,共50分)

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

B

A

C

C

D

A

A

B

二、填空題:(每小題4分,共24分)

11.6ec8aac122bd4f6e;  12.6ec8aac122bd4f6e;   13.6ec8aac122bd4f6e;    14.6ec8aac122bd4f6e;   15.4    16.120

三、解答題:(共76分,以下各題為累計(jì)得分,其他解法請相應(yīng)給分)

17.解:(I)6ec8aac122bd4f6e

        6ec8aac122bd4f6e  6ec8aac122bd4f6e

        由6ec8aac122bd4f6e,得6ec8aac122bd4f6e。

        又當(dāng)6ec8aac122bd4f6e時(shí)6ec8aac122bd4f6e,得6ec8aac122bd4f6e

        6ec8aac122bd4f6e

       (Ⅱ)當(dāng)6ec8aac122bd4f6e

        即6ec8aac122bd4f6e時(shí)函數(shù)遞增。

        故6ec8aac122bd4f6e的單調(diào)增區(qū)間為6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

        又由6ec8aac122bd4f6e,得6ec8aac122bd4f6e

        由6ec8aac122bd4f6e

        解得6ec8aac122bd4f6e

        故使6ec8aac122bd4f6e成立的6ec8aac122bd4f6e的集合是6ec8aac122bd4f6e

18.解:(I)設(shè)袋中有白球6ec8aac122bd4f6e個(gè),由題意得6ec8aac122bd4f6e

        即6ec8aac122bd4f6e

        解得6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e(舍),故有白球6個(gè)

       (法二,設(shè)黑球有6ec8aac122bd4f6e個(gè),則全是黑球的概率為6ec8aac122bd4f6e   由6ec8aac122bd4f6e

        即6ec8aac122bd4f6e,解得6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e(舍),故有黑球4個(gè),白球6個(gè)

       (Ⅱ)6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

0

1

2

3

P

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

       故分布列為

 

 

 

 

 

 

       

       數(shù)學(xué)期望6ec8aac122bd4f6e

 

19.解:(I)取AB的中點(diǎn)O,連接OP,OC         6ec8aac122bd4f6ePA=PB   6ec8aac122bd4f6ePO6ec8aac122bd4f6eAB

       又在6ec8aac122bd4f6e中,6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e

       在6ec8aac122bd4f6e中,6ec8aac122bd4f6e,又6ec8aac122bd4f6e,故有6ec8aac122bd4f6e

       6ec8aac122bd4f6e   又6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e面ABC

       又PO6ec8aac122bd4f6e面PAB,6ec8aac122bd4f6e面PAB6ec8aac122bd4f6e面ABC

      (Ⅱ)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn), 分別以O(shè)B,OC,OP為6ec8aac122bd4f6e軸,6ec8aac122bd4f6e軸,高考資源網(wǎng)(www.ks5u.com),中國最大的高考網(wǎng)站,您身邊的高考專家。軸建立坐標(biāo)系,

如圖,則A6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e       6ec8aac122bd4f6e

       6ec8aac122bd4f6e

       設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為6ec8aac122bd4f6e。

       6ec8aac122bd4f6e     得6ec8aac122bd4f6e

       令6ec8aac122bd4f6e,則6ec8aac122bd4f6e

       6ec8aac122bd4f6e

       設(shè)直線PB與平面PAC所成角為6ec8aac122bd4f6e

       于是6ec8aac122bd4f6e

20.解:(I)由題意設(shè)C的方程為6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,得6ec8aac122bd4f6e

       6ec8aac122bd4f6e

       設(shè)直線6ec8aac122bd4f6e的方程為6ec8aac122bd4f6e,由6ec8aac122bd4f6e

       ②代入①化簡整理得   6ec8aac122bd4f6e

       因直線6ec8aac122bd4f6e與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn),

       故6ec8aac122bd4f6e

       即6ec8aac122bd4f6e,解得6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e時(shí)僅交一點(diǎn),6ec8aac122bd4f6e

      (Ⅱ)設(shè)6ec8aac122bd4f6e,由由(I)知

       6ec8aac122bd4f6e

       6ec8aac122bd4f6e

       6ec8aac122bd4f6e

21.解:(I)當(dāng)6ec8aac122bd4f6e時(shí),6ec8aac122bd4f6e

       設(shè)曲線6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e在公共點(diǎn)(6ec8aac122bd4f6e)處的切線相同,則有6ec8aac122bd4f6e

       即6ec8aac122bd4f6e    解得6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e(舍)

       又6ec8aac122bd4f6e故得6ec8aac122bd4f6e公共點(diǎn)為6ec8aac122bd4f6e,

       6ec8aac122bd4f6e切線方程為   6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e

      (Ⅱ)6ec8aac122bd4f6e,設(shè)在(6ec8aac122bd4f6e)處切線相同,

       故有6ec8aac122bd4f6e

       即6ec8aac122bd4f6e

       由①6ec8aac122bd4f6e,得6ec8aac122bd4f6e(舍)

       于是6ec8aac122bd4f6e

       令6ec8aac122bd4f6e,則6ec8aac122bd4f6e

       于是當(dāng)6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e時(shí),6ec8aac122bd4f6e,故6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e上遞增。

       當(dāng)6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e時(shí),6ec8aac122bd4f6e,故6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e上遞減

       6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e處取最大值。

       6ec8aac122bd4f6e當(dāng)6ec8aac122bd4f6e時(shí),b取得最大值6ec8aac122bd4f6e

22.解:(I)6ec8aac122bd4f6e的對稱軸為6ec8aac122bd4f6e,又當(dāng)6ec8aac122bd4f6e時(shí),6ec8aac122bd4f6e,

       故6ec8aac122bd4f6e在[0,1]上是增函數(shù)

       6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

     (Ⅱ)6ec8aac122bd4f6e

       由6ec8aac122bd4f6e

       得6ec8aac122bd4f6e

       ①―②得6ec8aac122bd4f6e   即6ec8aac122bd4f6e

       當(dāng)6ec8aac122bd4f6e時(shí),6ec8aac122bd4f6e,當(dāng)6ec8aac122bd4f6e時(shí),6ec8aac122bd4f6e

       6ec8aac122bd4f6e

       于是6ec8aac122bd4f6e

       設(shè)存在正整數(shù)6ec8aac122bd4f6e,使對6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e恒成立。

       當(dāng)6ec8aac122bd4f6e時(shí),6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e

       當(dāng)6ec8aac122bd4f6e時(shí),6ec8aac122bd4f6e

       6ec8aac122bd4f6e。

       6ec8aac122bd4f6e當(dāng)6ec8aac122bd4f6e時(shí),6ec8aac122bd4f6e,當(dāng)6ec8aac122bd4f6e時(shí),6ec8aac122bd4f6e,當(dāng)6ec8aac122bd4f6e時(shí),6ec8aac122bd4f6e

       6ec8aac122bd4f6e存在正整數(shù)6ec8aac122bd4f6e或8,對于任意正整數(shù)6ec8aac122bd4f6e都有6ec8aac122bd4f6e成立。


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