將代入上式得. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

(2004•上海模擬)小王將5000元存入銀行,已知銀行一年期利率為x%,一年后,小王將所得的本利和又續(xù)存了一年,這樣,小王共可得本利和(用含x的代數(shù)式表示)
5000(1+x%)2
5000(1+x%)2

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數(shù)學家歐拉

  歐拉(Euler),瑞士數(shù)學家及自然科學家.1707年4月15日出生于瑞士的巴塞爾,1783年9月18日于俄國彼得堡去逝.歐拉出生于牧師家庭,自幼受父親的教育,13歲時入讀巴塞爾大學,15歲大學畢業(yè),16歲獲碩士學位.

  歐拉是18世紀數(shù)學界最杰出的人物之一,他不但為數(shù)學界做出了巨大的貢獻,更把數(shù)學推至幾乎整個物理的領域.他是數(shù)學史上最多產(chǎn)的數(shù)學家,平均每年寫出八百多頁的論文,還寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法等的課本,《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等都成為數(shù)學中的經(jīng)典著作.

  歐拉對數(shù)學符號的創(chuàng)立及推廣起了積極的作用.比如用e表示自然對數(shù)的底,用i表示-1,用f(x)作為函數(shù)的符號,π雖不是歐拉首先提出的,但是在歐拉倡導下推廣普及的.尤為不可思議的是歐拉將數(shù)學中最為活躍的五個數(shù)1,0,π,e,i竟用一個美妙絕倫的公式聯(lián)系了起來:eiπ+1=0(歐拉指數(shù)公式),在西方數(shù)學界甚至認為此公式不亞于神的力量.

  歐拉對數(shù)學的研究如此廣泛,因此在許多數(shù)學的分支中也可經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理.

1.你對歐拉(Euler)了解嗎?請查閱歐拉(Euler)的故事,對于他“13歲時入讀巴塞爾大學,15歲大學畢業(yè),16歲獲碩士學位”,你有何感觸?

2.作為新時代的青年,你做好將來為科學事業(yè)做貢獻的思想準備了嗎?

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函數(shù)概念的發(fā)展歷程

  17世紀,科學家們致力于運動的研究,如計算天體的位置,遠距離航海中對經(jīng)度和緯度的測量,炮彈的速度對于高度和射程的影響等.諸如此類的問題都需要探究兩個變量之間的關系,并根據(jù)這種關系對事物的變化規(guī)律作出判斷,如根據(jù)炮彈的速度推測它能達到的高度和射程.這正是函數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的背景.

  “function”一詞最初由德國數(shù)學家萊布尼茲(G.W.Leibniz,1646~1716)在1692年使用.在中國,清代數(shù)學家李善蘭(1811~1882)在1859年和英國傳教士偉烈亞力合譯的《代徽積拾級》中首次將“function”譯做“函數(shù)”.

  萊布尼茲用“函數(shù)”表示隨曲線的變化而改變的幾何量,如坐標、切線等.1718年,他的學生,瑞士數(shù)學家約翰·伯努利(J.Bernoulli,1667~1748)強調(diào)函數(shù)要用公式表示.后來,數(shù)學家認為這不是判斷函數(shù)的標準.只要一些變量變化,另一些變量隨之變化就可以了.所以,1755年,瑞士數(shù)學家歐拉(L.Euler,1707~1783)將函數(shù)定義為“如果某些變量,以一種方式依賴于另一些變量,我們將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)”.

  當時很多數(shù)學家對于不用公式表示函數(shù)很不習慣,甚至抱懷疑態(tài)度.函數(shù)的概念仍然是比較模糊的.

  隨著對微積分研究的深入,18世紀末19世紀初,人們對函數(shù)的認識向前推進了.德國數(shù)學家狄利克雷(P.G.L.Dirichlet,1805~1859)在1837年時提出:“如果對于x的每一個值,y總有一個完全確定的值與之對應,則y是x的函數(shù)”.這個定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵.只要有一個法則,使得取值范圍中的每一個值,有一個確定的y和它對應就行了,不管這個法則是公式、圖象、表格還是其他形式.19世紀70年代以后,隨著集合概念的出現(xiàn),函數(shù)概念又進而用更加嚴謹?shù)募虾蛯Z言表述,這就是本節(jié)學習的函數(shù)概念.

  綜上所述可知,函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學技術的實際需要緊密相關,而且隨著研究的深入,函數(shù)概念不斷得到嚴謹化、精確化的表達,這與我們學習函數(shù)的過程是一樣的.

你能以函數(shù)概念的發(fā)展為背景,談談從初中到高中學習函數(shù)概念的體會嗎?

1.探尋科學家發(fā)現(xiàn)問題的過程,對指導我們的學習有什么現(xiàn)實意義?

2.萊布尼茲、狄利克雷等科學家有哪些品質(zhì)值得我們學習?

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已知向量),向量,,

.

(Ⅰ)求向量; (Ⅱ)若,,求.

【解析】本試題主要考查了向量的數(shù)量積的運算,以及兩角和差的三角函數(shù)關系式的運用。

(1)問中∵,∴,…………………1分

,得到三角關系是,結合,解得。

(2)由,解得,,結合二倍角公式,和,代入到兩角和的三角函數(shù)關系式中就可以求解得到。

解析一:(Ⅰ)∵,∴,…………1分

,∴,即   ①  …………2分

 ②   由①②聯(lián)立方程解得,,5分

     ……………6分

(Ⅱ)∵,  …………7分

,               ………8分

又∵,          ………9分

,            ……10分

解法二: (Ⅰ),…………………………………1分

,∴,即,①……2分

    ②

將①代入②中,可得   ③    …………………4分

將③代入①中,得……………………………………5分

   …………………………………6分

(Ⅱ) 方法一 ∵,,∴,且……7分

,從而.      …………………8分

由(Ⅰ)知, ;     ………………9分

.     ………………………………10分

又∵,∴, 又,∴    ……11分

綜上可得  ………………………………12分

方法二∵,,∴,且…………7分

.                                 ……………8分

由(Ⅰ)知 .                …………9分

             ……………10分

,且注意到

,又,∴   ………………………11分

綜上可得                    …………………12分

(若用,又∵ ∴ ,

 

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為了比較注射A,B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積,選200只家兔做實驗,將這200只家兔隨機地分成兩組。每組100只,其中一組注射藥物A,另一組注射藥物B。下表1和表2分別是注射藥物A和藥物B后的實驗結果。(皰疹面積單位:

表1:注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表

皰疹面積

頻數(shù)

30

40

20

10

頻率/組距

 

 

 

 

表2:注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表

皰疹面積

頻數(shù)

10

25

20

30

15

頻率/組距

 

 

 

 

 

(1)     完成上面兩個表格及下面兩個頻率分布直方圖;

(2)完成下面列聯(lián)表,并回答能否有99.9%的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”。 (結果保留4位有效數(shù)字)

 

皰疹面積小于70

皰疹面積不小于70

合計

注射藥物A

a=

b=

 

注射藥物B

c=

d=

 

合計

 

 

n=

附:

 

P(K2≥k)

0.10

0.05

0.025

0.010

0.001

k

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

【解析】根據(jù)已知條件,得到列聯(lián)表中的a,b,c,d的值,代入已知的公式中

然后求解值,判定兩個分類變量的相關性。

解:

    由于K2≥10.828,所以有99.9%的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”

 

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