如圖，用一平面去截球O，所得截面面積為16π，球心O到截面的距離為3cm，O₁為截面小圓圓心，AB為截面小圓的直徑．
（1）計算球O的表面積；
（2）若C是截面小圓上一點，∠ABC=30°，M、N分別是線段AO₁和OO₁的中點，求異面直線AC與MN所成的角（結果用反三角函數表示）．

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如圖，用一平面去截球O，所得截面面積為16π，球心O到截面的距離為3cm，O₁為截面小圓圓心，AB為截面小圓的直徑．
（1）計算球O的表面積；
（2）若C是截面小圓上一點，∠ABC=30°，M、N分別是線段AO₁和OO₁的中點，求異面直線AC與MN所成的角（結果用反三角函數表示）．

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如圖，用一平面去截球O，所得截面面積為16π，球心O到截面的距離為3cm，O₁為截面小圓圓心，AB為截面小圓的直徑．
（1）計算球O的表面積；
（2）若C是截面小圓上一點，∠ABC=30°，M、N分別是線段AO₁和OO₁的中點，求異面直線AC與MN所成的角（結果用反三角函數表示）．

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（2011•浦東新區(qū)三模）如圖，用一平面去截球O，所得截面面積為16π，球心O到截面的距離為3cm，O₁為截面小圓圓心，AB為截面小圓的直徑．
（1）計算球O的表面積；
（2）若C是截面小圓上一點，∠ABC=30°，M、N分別是線段AO₁和OO₁的中點，求異面直線AC與MN所成的角（結果用反三角函數表示）．

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一． 填空題（每題4分，共48分）

1. {0};   2. 四;   3. 12;   4. 0;   5. 4;   6. 理、文7;   7. 理2a、文4;

8. 0.25;    9. 126;    10. 18;    11. ;    12. (或).

二．選擇題（每題4分，共16分）

13．D；  14．B；  15．C；  16．理B、文B．

三. 解答題.  17.（本題滿分12分）解：由已知得     (3分)

∴,  ∴           (6分)

∴ 又，即,∴         (9分)

∴的面積S=．            (12分)

18.（本題滿分12分）解：∵，∴       (5分)

∵，欲使是純虛數，

而=                      (7分)
   ∴，  即                     (11分)
   ∴當時，是純虛數.                      (12分)

19.（本題滿分14分，第1小題滿分9分，第2小題滿分5分）

解：（1）依題意設，則，                (2分)

       (4分)    而，

∴，即，    (6分)    ∴       (7分)

從而.                            (9分)

（2）平面，

∴直線到平面的距離即點到平面的距離           (2分)

也就是的斜邊上的高，為.                (5分)

20.（本題滿分14分，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分）

解：（1）不正確.                          (2分)
   沒有考慮到還可以小于.                  (3分)
   正確解答如下：
   令，則，
   當時，，即                  (5分)
   當時，，即                  (7分)
   ∴或，即既無最大值，也無最小值.           (8分)

（2）（理）對于函數，令
  ①當時，有最小值，，                   (9分)

當時，，即，當時，即

∴或，即既無最大值，也無最小值.           (10分)
  ②當時，有最小值，， 

此時，，∴，即，既無最大值，也無最小值       .(11分)
  ③當時，有最小值，，即   (12分)
∴，即，
∴當時，有最大值，沒有最小值.             (13分)
∴當時，既無最大值，也無最小值。
 當時，有最大值，此時；沒有最小值.      (14分)

（文）∵，    ∴             （12分）

∴函數的最大值為（當時）而無最小值．     （14分）

21.（本滿分16分，第1、2小題滿分各4分，第3小題滿分8分）

解：（1）                            （4分）

（2）由解得                            （7分）

所以第個月更換刀具.                                       （8分）

（3）第個月產生的利潤是：   （9分）

個月的總利潤：（11分）

個月的平均利潤：     （13分）

由  且

在第7個月更換刀具，可使這7個月的平均利潤最大（13.21萬元） （14分）此時刀具厚度為（mm）                  （16分）

22.（本題滿分18分，第1、2小題滿分各4分，第3小題滿分10分）

解：（1）              （4分）

（2）各點的橫坐標為：           (8分)

（3）過作斜率為的直線交拋物線于另一點，            (9分)

則一般性的結論可以是：

點 的相鄰橫坐標之和構成以為首項和公比的等比數列（或：點無限趨向于某一定點，且其橫（縱）坐標之差成等比數列；或：無限趨向于某一定點，且其橫（縱）坐標之差成等比數列，等）(12分)

證明：設過點作斜率為的直線交拋物線于點由

          得或；       

點的橫坐標為，則               (14分)

于是兩式相減得：            (16分)

=  

故點無限逼近于點      

同理無限逼近于點                          （18分）