直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

(2012•閔行區(qū)三模)規(guī)定:直線l到點(diǎn)F的距離即為點(diǎn)F到直線l的距離,在直角坐標(biāo)平面xoy中,已知兩定點(diǎn)F1(-1,0)與F2(1,0)位于動(dòng)直線l:ax+by+c=0的同側(cè),設(shè)集合P={l|點(diǎn)F1與點(diǎn)F2到直線l的距離之和等于2},Q={(x,y)|(x,y)∉l,l∈P}.則由Q中的所有點(diǎn)所組成的圖形的面積是
π
π

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(Ⅰ)證明PC⊥AD;

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;

(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長(zhǎng).

 

【解析】解法一:如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).

(1)證明:易得,于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量,

,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

(3)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.

,故 

所以,,解得,即.

解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.

(2)如圖,作于點(diǎn)H,連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,

因此所以二面角的正弦值為.

(3)如圖,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">,故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點(diǎn)為F,連接BE,EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,

中,由,,

可得.由余弦定理,,

所以.

 

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如下圖,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC,DAACDAAB,若DA=1,且EDA的中點(diǎn).求異面直線BECD所成角的余弦值.

[分析] 根據(jù)異面直線所成角的定義,我們可以選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn),分別引BEDC的平行線,換句話說,平移BE(或CD).設(shè)想平移CD,沿著DA的方向,使D移向E,則C移向AC的中點(diǎn)F,這樣BECD所成的角即為∠BEF或其補(bǔ)角,解△EFB即可獲解.

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在正方體中,寫出過頂點(diǎn)A的一個(gè)平面_ _____,使該平面與正方體的12條棱所在的直線所成的角均相等(注:填上你認(rèn)為正確的一個(gè)平面即可,不必考慮所有可能的情況)。

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在正方體中,寫出過頂點(diǎn)A的一個(gè)平面_________,使該平面與正方體的12條棱所在的直線所成的角均相等(注:填上你認(rèn)為正確的一個(gè)平面即可,不必考慮所有可能的情況)。

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