A.選修4―1:幾何證明選講 B.選修4―2:矩陣與變換 C.選修4―4:坐標系與參數(shù)方程 D.選修4―5:不等式選講 [必做題]第22題.第23題.每題10分.共計20分.請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

精英家教網(wǎng)A.選修4-1:幾何證明選講
銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O,∠ABC=60?,∠BAC=40?,作OE⊥AB交劣弧
AB
于點E,連接EC,求∠OEC.
B.選修4-2:矩陣與變換
曲線C1=x2+2y2=1在矩陣M=[
12
01
]的作用下變換為曲線C2,求C2的方程.
C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
P為曲線C1
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù))上一點,求它到直線C2
x=1+2t
y=2
(t為參數(shù))距離的最小值.
D.選修4-5:不等式選講
設(shè)n∈N*,求證:
C
1
n
+
C
2
N
+L+
C
N
N
n(2n-1)

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精英家教網(wǎng)A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,圓O1與圓O2內(nèi)切于點A,其半徑分別為r1與r2(r1>r2 ).圓O1的弦AB交圓O2于點C ( O1不在AB上).求證:AB:AC為定值.
B.選修4-2:矩陣與變換
已知矩陣A=
11
21
,向量β=
1
2
.求向量
α
,使得A2
α
=
β

C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中,求過橢圓
x=5cosφ
y=3sinφ
(φ為參數(shù))的右焦點,且與直線
x=4-2t
y=3-t
(t為參數(shù))平行的直線的普通方程.
D.選修4-5:不等式選講(本小題滿分10分)
解不等式:x+|2x-1|<3.

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A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E,∠BAC的平分線與BC
交于點D.求證:ED2=EB•EC.
B.選修4-2:矩陣與變換
求矩陣M=
-14
26
的特征值和特征向量.
C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在以O(shè)為極點的極坐標系中,直線l與曲線C的極坐標方程分別是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ,直線l與曲線C交于點.A,B,C,求線段AB的長.
D.選修4-5:不等式選講
對于實數(shù)x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求|x-y+1|的最大值.

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A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,直角△ABC中,∠B=90°,以BC為直徑的⊙O交AC于點D,點E是AB的中點.
求證:DE是⊙O的切線.
B.選修4-2:矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值-1及其對應(yīng)的一個特征向量為,點P(2,-1)在矩陣A對應(yīng)的變換下得到點P′(5,1),求矩陣A.
C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線l的極坐標方程為,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),求曲線C截直線l所得的弦長.
D.選修4-5:不等式選講
已知a,b,c都是正數(shù),且abc=8,求證:log2(2+a)+log2(2+b)+log2(2+c)≥6.

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A.選修4-1:幾何證明選講
銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O,∠ABC=60?,∠BAC=40?,作OE⊥AB交劣弧于點E,連接EC,求∠OEC.
B.選修4-2:矩陣與變換
曲線C1=x2+2y2=1在矩陣M=[]的作用下變換為曲線C2,求C2的方程.
C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
P為曲線C1(θ為參數(shù))上一點,求它到直線C2(t為參數(shù))距離的最小值.
D.選修4-5:不等式選講
設(shè)n∈N*,求證:++L+

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說明:

1.本解答給出的解法供參考.如果考生的解法與本解答不同,可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制訂相應(yīng)的評分細則.

2.對計算題,當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時,如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定給分,但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半;如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤,就不再給分.

3.解答右端所注分數(shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù).

4.只給整數(shù)分數(shù),填空題不給中間分數(shù).

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

1.{0,1}       2.1       3.2      4.-3       5.5      6.[2,5]    

7.60            8.4      9.   10.(,)     11.     12.4 

13.        14.(,]

二、解答題(本大題共6小題,共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(本題滿分14分)

解:(1)tana==,…………………………………………3分

所以=,又因為sin2a+cos2a=1,

解得sina=.………………………………………………………7分

(2)因為0<a<<bp,所以0<bap

因為cos(ba)=,所以sin(ba)=.……………………9分

所以sinb=sin[(ba)+a]

=sin(ba)cosa+cos(ba)sina=×+×=,……12分

因為b∈(,p),

所以b=.………………………………………………………14分

 

16.(本題滿分14分)

證明:(1)取AB1中點F,連結(jié)DFCF.因為DA1B1中點,

所以DF∥=AA1

因為ECC1中點,AA1∥=CC1,

所以CE∥=DF

所以四邊形CFDE為平行四邊形.

所以DECF.…………………………………………………4分

因為CFÌ平面ABCDE(/平面ABC,

所以DE∥平面ABC.…………………………………………7分

(2) 因為AA1C1C為矩形,所以AC^CC1

因為BB1C1C為菱形,所以CC1CBB1C^BC1.…………8分

因為ACABCC1=3∶5∶4,

所以ACABBC=3∶5∶4,

所以AC2BC2AB2.……………………………………10分

所以AC^BC

所以AC^平面BB1C1C.…………………………………12分

所以AC^BC1

所以BC1^平面AB1C.……………………………………14分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.(本題滿分14分)

解:(1)設(shè)從A地運出的油量為a,根據(jù)題設(shè),直接運油到B地,往返油耗等于a,

所以B地收到的油量為(1-)a

所以運油率P1==.……………………………………3分

而從A地運出的油量為a時,C地收到的油量為(1-)a

B地收到的油量(1-)(1-)a,

所以運油率P2

=(1-)(1-)=(+)(1-).…………………………7分

所以P2P1x(1-x),因為0<x<1,

所以P2P1>0,即P2P1.…………………………………………9分

(2)因為P2=(+)(1-)≤=.

當且僅當+=1-,即x=時,取“=”.

所以當C地為AB中點時,運油率P2有最大值.……………………………………14分

18.(本題滿分16分)

解:(1)因為拋物線頂點在原點,準線方程為x=-1,

所以拋物線開口向右,且-=-1,所以p=2.

所以所求的拋物線方程為y2=4x.…………………………………………4分

(2)設(shè)P(x0,y0),則y02=4x0,半徑rPFx0+1,

P的方程為(xx0)2+(yy0)2=(x0+1)2,……………………………6分

設(shè)AB的方程為y=2xb,由AB=2CD得,

圓心P到直線AB的距離2d=,……………………………6分

所以5d2r2,即dr

因為r=|x0+1|,d=,

代入得ㄏ2x0y0bㄏ=ㄏx0+1ㄏ.…………………………………8分

即2x0y0bx0+1或2x0y0b=-x0-1.

所以x0y0b-1=0或3x0y0b+1=0.

因為y02=4x0,所以x0y02,

代入得y02y0+(b-1)=0或y02y0+(b+1)=0.……………………10分

方程y02y0+(b-1)=0關(guān)于y0有解Û1-(b-1)≥0,b≤2.

方程y02y0+(b+1)=0.關(guān)于y0有解Û1-3(b+1)≥0,b≤-.…12分

綜上所述,b的最大值為2.……………………………………………14分

此時,y0=2,x0=1,rx0+1=2,

所以圓P的方程為(x-1)2+(y-2)2=4.……………………………16分

19.(本題滿分16分)

解: f ¢(x)=(x>0)  2分

   (1)由已知,得f ¢(x)在[1,+∞)上有解,即a=在(1,+∞)上有解,

       又x∈(1,+∞)時,<1,

所以a<1.又a>0,所以a的取值范圍是(0,1).………………………………6分

   (2)①當a≥時,

       因為f ¢(x)>0在(e,e2)上恒成立,這時f(x)在[e,e2]上為增函數(shù),

所以當x=e時,f(x)minf(e)=1+  ……………………………………………… 8分

       ②當0<a≤時,

因為f ¢(x)<0在(e,e2)上恒成立,

這時f(x)在[e,e2]上為減函數(shù),

所以,當x=e2時,f(x)minf(e2)=2-,…………………………………………10分

       ③當<a<時,令f¢(x)=0得,x=∈(e,e2),

又因為對于x∈(e,)有f ¢(x)<0,

對于x∈(,e2)有f ¢(x)>0,

所以當x=時,f(x)minf()=ln+1-.………………………………………14分

       綜上,f(x)在[e,e2]上的最小值為

       f(x)min=………………………………………16分

20.(本題滿分16分)

解:(1)由條件得an+2=(2+)an+1an,

所以an2an+1=2(an+1an),

bn+1=2bn,又b1a2a1=2,所以bn≠0,

從而=2對nN*成立,

所以數(shù)列{bn}是首項為b1=2,公比q=2的等比數(shù)列,

所以bn=2n.…………………………………………………6分

(2)由(1)得an1an=2n.所以(n+1)an1nan=(n+1)×2n,………………8分

所以2a2a1=2×21,

3a32a2=3×22

4a43a3=4×23,

…………,

nan-(n-1)an1n×2n1,

相加得nana1=2×21+3×22+4×23+…+n×2n1,

所以2(nana1)=     2×22+3×23+…+(n-1)×2n1n×2n

兩式相減得:-(nana1)=2(21+22+…+2n1)-n×2n=2n1-4-n×2n,所以

an=2n-=.…………………………………………………………11分

(3)因為cn===4[-],…………13分

所以Snc1c2+…+cn

=4[-+-+-+…+-]

=4[-]=2-<2.…………………………………………………16分

 

南京市第十三中學(xué)2009屆高三年級第三次模擬考試

        數(shù)學(xué)附加卷答案   2009.5

1.(幾何證明選講)(本題滿分10分)

證明:證明:因為AB,C,D四點共圓,所以ÐADF=ÐABC

因為PFBC,所以ÐAFP=ÐABC.所以ÐAFP=ÐFQP

因為ÐAPF=ÐFPA,所以△APF∽△FPQ.所以=.………………5分

所以PF2PA×PD.因為PQ與圓相切,所以PQ2PA×PD

所以PF2PQ2.所以PFPQ.……………………………………………10分

 

2.(矩陣與變換)(本題滿分10分)

解:∵MN= =,

設(shè)直線y=2x+1上一點(x0,y0)在MN作用下變?yōu)?x¢,y¢),則

=, 即=,即

從而可得……………………………………5分

y0=2x0+1,代入得y¢=2(x¢-y¢)+1,

化簡得2x¢-y¢+1=0,即6x¢-5y¢+3=0.

即變換后的直線方程是6x-5y+3=0.…………………………10分

 

3.(坐標系與參數(shù)方程)(本題滿分10分)

解:⊙O的直角坐標方程是x2y2xy=0,

即(x-)2+(y-)2=.………………………………………………3分

直線l的極坐標方程為r(cosq-sinq)=4,

直線l的直角坐標方程為xy-4=0.………………………………6分

設(shè)M(+cosq,+sinq)為⊙C上任意一點,M點到直線l的距離

d==,

q=時,dmin=.…………………………………………………10分

 

4.(不等式選講)(本題滿分10分)

解:因為++≥3=3,………………………………………4分

所以ㄏx+1ㄏ+ㄏx-1ㄏ≤3,

x∈[-,].…………………………………………………………10分

 

5.(本題滿分10分)

解:解:(1)選取的5只恰好組成完整“奧運會吉祥物”的概率

       ………………………………………………3分

   (2)ξ的取值為100,80,60,40.…………………………………4分

      

       ……………………………………………………8分

ξ的分布列為

ξ

100

80

60

40

       ……………………………………………………………………………………9分

Eξ=…………………………………………10分

 

6.(本題滿分10分)

解:(1)∵,∴.

).

).

).

).

數(shù)列為等比數(shù)列,其公比為,首項,

,且,∴.

.  

.…………………………………………………………4分.

   (2)∵,

     ∴  .

.

,        ①

2.       ②

①-②得 -,

             

              ,

.…………………………………………………6分.

)==.

時,=;

時,-()=4(4-5)=-4,;

時,,

,

時,總有.…………………………………………………10分.

時,總有

 

 

 


同步練習(xí)冊答案