已知函數(shù)f(x) = -x3+ax2+b的圖象上任意兩點連線的斜率都小于1. (1)判斷函數(shù)g(x)=f(x)-x的單調(diào)性.并加以證明, (2)求實數(shù)a的取值范圍. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)＝－x3－ax2＋b2x＋1(a、b∈R)．

(1)若a＝1，b＝1，求f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間；

(2)已知x1，x2為f(x)的極值點，且|f(x1)－f(x2)|＝|x1－x2|，若當(dāng)x∈[－1,1]時，函數(shù)y＝f(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒小于m，求m的取值范圍

 

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已知函數(shù)f(x)＝－x3－ax2＋b2x＋1(a、b∈R)．
(1)若a＝1，b＝1，求f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間；
(2)已知x1，x2為f(x)的極值點，且|f(x1)－f(x2)|＝|x1－x2|，若當(dāng)x∈[－1,1]時，函數(shù)y＝f(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒小于m，求m的取值范圍

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已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，bR)．

①若f(x)在[0，2]上是增函數(shù)，x＝2是方程f(x)＝0的一個實根，求證：f(1)≤－2；

②若f(x)的圖象上任意不同兩點的連線斜率小于1，求實數(shù)a的取值范圍．

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已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)

(1)若函數(shù)f(x)在x＝0，x＝2處取得極值，且極小值為－2，求a，b的值．

(2)若x∈[0，1]，函數(shù)f(x)在圖象上任意一點的切線的斜率為k，求k≤1恒成立時a取值范圍．

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已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）圖象上任意一點處的切線的斜率都小于1，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

B

B

C

B

D

C

B

C

D

C

二、填空題

13.             14.            15.1<m<2              16.2x+6

三、解答題

17.(1)將正弦定量代入條件得：                         …………2分

即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0

   2sinAcosB+sin(B+C)=0

由B+C=π-A，得2sinAcosB+sinA=0                                                    …………4分

   又sinA>0,∴cosB=-,又0<B<π，∴B=                                   …………6分

(2)由余弦定理有：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2+ac=(a+c)2-ac將b= ,a+c=4代入得ac=3

…………10分

 ∴S△ABC=                                  …………12分

18.(1)由Sn=(an+1)2,且an>0,得a1=S1=(a1+1)2,解得a1=1n≥2時，an=Sn-Sn-1=(an+1)2-(an-1+1)2

(an-1)2-(an-1+1)2=0,       (an+an-1)(an-an-1-2)=0

∴an-an-1-2=0,  即an-an-1=2,   ∴{an}是公差為2的等數(shù)列

∴an=2n-1                                                                                          …………6分

(2)Cn=

Tn=

∴

∴Tn=1+1            …………12分

19.(1)20個數(shù)中有3的倍數(shù)6個，除以3余1的7個，余2的7個   …………2分

P1=                                                          …………6分

(2)20個奇數(shù)有10個偶數(shù)有10個，其中5個是4的倍數(shù)。                 …………8分

∴P2=1                                                                     …………12分

20.(1)連結(jié)A1B、A1E，并延長A1E交AC的延長線于點P，連BP由E為C1C的中點，A1C1∥CP，可證A1E=EP，

∵D、E分別是A1B、A1P的中點，

∴DE∥BP

又BP面ABC，DE面ABC

∴DE∥平面ABC                                                                               …………4分

(2)∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，F(xiàn)為BC的中點

∴BC⊥AF

∵BB1⊥平面ABC，∴B1F⊥AF

∴∠B1FB為二面角B1-AF-B的平面角

在Rt△B1BF中，∠B1BF=90°，B1B=a,BF=∴tan∠B1FB=∴∠B1FB=arctan                                                    …………8分

即二面β1-AF-B的大小為arctan

(3)∵B1F2=

∴B1F2+EF2=B1E2,∴B1F⊥FE

由AF⊥BC，有AF⊥平面B1BCC1，即AF⊥平面B1EF

∴VF-B1AE=VA-B1EF=                           …………12分

(注：用向量解法可參照給分)

21.證：(1)設(shè)f(x)上任意兩點，A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2))不妨令x1>x2

∵∴f(x1)-f(x2)<x1-x2

即f(x1)-x1<f(x2-x2)令g(x)=f(x)-x=-x3+ax2-x+b

∵當(dāng)x1>x2時g(x1)<g(x2)

∵g(x)單調(diào)遞減                                                                           ……………6分

(2)∴g(x)單調(diào)遞減∴g′(x)≤0恒成立

∴-3x2+2ax-1≤0恒成立

∴△=4a2-12≤0

∴-≤a≤                                                                          ……………12分

22.(1)∵=(x,y+2)  =(x,y-2)

||+||=8,∴=8

由橢圓定義知，M點軌跡是以(0，2)和(0，-2)為焦點的橢圓

∴                                                                                    ……………6分

(2)∵l的斜率一定存在，設(shè)l：y=kx+3

 (3k2+4)x2+18kx-21=0                                               ……………8分

設(shè)A(x1，y1),B(x2,y2)

∵ ∴OAPB為平行四邊形

又∵

即OAPB為矩形  ∴   ∴x1x2+y1y2=0

∴(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0

∴-(1+k2)?

∴k2=∴k=±經(jīng)檢驗k=±合題意.

∴存在直線l：y=±x+3                                                                …………14分

 

 


同步練習(xí)冊答案