題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)
已知函數(shù)。
(1)證明:
(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為
,求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)設(shè)數(shù)列滿足:
,設(shè)
,
若(2)中的滿足對(duì)任意不小于2的正整數(shù)
,
恒成立,
試求的最大值。
(本小題滿分14分)已知,點(diǎn)
在
軸上,點(diǎn)
在
軸的正半軸,點(diǎn)
在直線
上,且滿足
,
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在
軸上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)
的軌跡
方程;
(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)時(shí),不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(本小題滿分14分)
已知,其中
是自然常數(shù),
(1)討論時(shí),
的單調(diào)性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求證:在(1)的條件下,;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使
的最小值是3,若存在,求出
的值;若不存在,說(shuō)明理由.
(本小題滿分14分)
設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,對(duì)任意的正整數(shù)
,都有
成立,記
。
(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(II)記,設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,求證:對(duì)任意正整數(shù)
都有
;
(III)設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
。已知正實(shí)數(shù)
滿足:對(duì)任意正整數(shù)
恒成立,求
的最小值。
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
A
C
B
A
C
B
C
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.其中12題的第一個(gè)空3分,第二
個(gè)空2分.
11..
12.
.
13.
.
14.
.
三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或推證過(guò)程.
15.解:(1) 根據(jù)題意,可知,
,即
. ……………………………2分
于是. ………………………………………………………………………………………………3分
將點(diǎn)代入
,得
即
. …………………………………………………………5分
滿足的最小正數(shù)
. ……………………………………………………………7分
從而所求的函數(shù)解析式是. ……………………………………………8分
(2)略.(振幅變換1分.周期變換、相位變換做對(duì)一個(gè)2分,全對(duì)3分) ……12分
16.解:顯然是隨機(jī)變量.
(1).
. …………………………………6分
(2)由的期望為
,得
,即
. …………………9分
根據(jù)表中數(shù)據(jù),得,即
. ………………………………………………11分
聯(lián)立解得. …………………………………………………………………………………………12分
17.解:(1)連結(jié)PQ,AQ.
∵△PCD為正三角形, ∴PQ⊥CD.
∵底面ABCD是∠ADC的菱形,∴AQ⊥CD.
∴CD⊥平面PAQ. ………………………………………………………………………………………………4分
∴PA⊥CD.
(2)設(shè)平面CDM交PA于N,∵CD//AB, ∴CD//平面PAB. ∴CD//MN.
由于M為PB的中點(diǎn),∴N為PA的中點(diǎn). 又PD=CD=AD,∴DN⊥PA.
由(1)可知PA⊥CD, ∴PA⊥平面CDM. ………………………………8分
∴平面CDM⊥平面PAB.
∵PA⊥平面CDM,聯(lián)接QN、QA,則ÐAQN為AQ與平面CDM所成的角. ……10分
在RtDPMA中,AM=PM=,
∴AP=,∴AN=
,sinÐAQN=
=
.
∴ÐAQN =45°.…………………………………………………14分
(2)另解(用空間向量解):
由(1)可知PQ⊥CD,AQ⊥CD.
又由側(cè)面PDC⊥底面ABCD,得PQ⊥AQ.
因此可以如圖建立空間直角坐標(biāo)系. ………………………………………………………6分
易知P(0 , 0 ,)、A(
, 0 , 0)、B(
, 2 , 0)、
C(0 , 1 , 0)、D(0 , -1 , 0). ………………………………………………………………………………7分
①由=(
, 0 , -
),
=(0 , -2 , 0),得
×
=0.
∴PA⊥CD. ……………………………………………………………………………………………………………9分
②由M(
, 1 , -
),
=(
, 0 , -
),得
×
=0.
∴PA⊥CM . ……………………………………………………………………10分
∴PA⊥平面CDM,即平面CDM⊥平面PAB.
從而就是平面CDM的法向量.………………………12分
設(shè)AQ與平面所成的角為q ,
則sinq =|cos<,
>|=
.
∴AQ與平面所成的角為45°.……………………14分
18.解:(1)根據(jù)題意,有解,
∴即
. ……………………………………………………………………………3分
(2)若函數(shù)可以在
和
時(shí)取得極值,
則有兩個(gè)解
和
,且滿足
.
易得. ………………………………………………………………………………………………6分
(3)由(2),得. ………………………………………………………………7分
根據(jù)題意,(
)恒成立. ……………………………………………9分
∵函數(shù)(
)在
時(shí)有極大值
(用求導(dǎo)的方法),
且在端點(diǎn)處的值為
.
∴函數(shù)(
)的最大值為
. …………………………13分
所以. …………………………………………………………………………………………………………14分
19.解:(1)由于橢圓過(guò)點(diǎn)
,故
.…………………………………1分
,
橫坐標(biāo)適合方程
解得(
即
).………………………………………………………4分
即,
橫坐標(biāo)是
(
即
).……………………………………5分
(2)根據(jù)題意,可設(shè)拋物線方程為. …………………6分
∵,∴
.………………………………………………………………7分
把和
(等同于
,
坐標(biāo)(
,
))代入式拋物線方
程,得. ……………………………………9分
令.……………………………………10分
則內(nèi)有根(并且是單調(diào)遞增函數(shù)),
∴………………………………………………………………13分
解得. …………………………………………………………………………………………14分
20.解:(1)∵f1(0)=2,a1==
,fn+1(0)= f1[fn(0)]=
, …………2分
∴an+1==
=
= -
= -
an. ……………4分
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為,公比為-
的等比數(shù)列,∴an=
(
)n-1. ………………5分
(2)∵T2 n = a1+
∴T2 n= (-
a1)+(-
)
)
)(2n-1)a2 n-1+
2na2 n
= a 2+
兩式相減,得T2 n= a1+a2+a 3+…+a2 n+na2 n. ……………………………………………………7分
∴T2n =
+n×
(-
)2n-1=
-
(-
)2n+
(-
)2n-1.
T2n =-
(-
)2n+
(-
)2n-1=
(1-
). ……………9分∴9T2n=1-
.
又Qn=1-, ……………………………………………………………………………………………10分
當(dāng)n=1時(shí),22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9T2 n<Q n; ……………………………………………………11分
當(dāng)n=2時(shí),22 n=16,(2n+1)2=25,∴9T2 n<Qn; …………………………………………………12分
當(dāng)n≥3時(shí),,
∴9T2 n>Q n. …………………………………………………………………………………………………………14分
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