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(本小題滿分14分)如圖，在一個由矩形與正三角形組合而成的平面圖形中，現(xiàn)將正三角形沿折成四棱錐，使在平面內(nèi)的射影恰好在邊上．


（1）求證：平面⊥平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．

第20題

                             

 

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一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

1．　2．2i　3．（）或（）　4．16　　5．a(chǎn)≥-8     6．64       7．（1）(3)(4)  8．6    9．　 10．  11．1　     12．   13．(－∞，1)

14．，提示：設(shè)，則，故為增函數(shù)，由a＜b，有，也可以考慮特例，如f(x)=x²

二、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

15．（1）                     

                                          5分

即

為等腰三角形.                                             8分

（2）由（I）知

                        12分

                                                           14分

16．（1）由圖形可知該四棱錐和底面ABCD是菱形，且有一角為，邊長為2，

錐體高度為1。

設(shè)AC，BD和交點(diǎn)為O，連OE，OE為△DPB的中位線，

OE//PB，                                             3分

EO面EAC，PB面EAC內(nèi)， PB//面AEC。          6分

（2）過O作OFPA垂足為F , 

在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，在Rt△POB中，PO=1，BO=1，PB=，   8分

過B作PA的垂線BF，垂足為F，連DF，由于△PAB≌△PAD，故DF⊥PA，DF∩BF=F，因此PA⊥面BDF.                                                  10分

在等腰三角形PAB中解得AF=,進(jìn)而得PF=               

即當(dāng)時，PA面BDF，                       12分

此時F到平面BDC的距離FH=

            14分

17．(1)                     4分

橢圓方程為                                7分

（2）         10分

＝2       14分

所以P在DB延長線與橢圓交點(diǎn)處，Q在PA延長線與圓的交點(diǎn)處，得到最大值為．  15分

18．（1）DM=，DN=，MF=，EN=，                          4分

=EF=DM+DN-MF-EN=+－－

=       （）                                        7分

（2）“平板車要想順利通過直角走廊”即對任意角（），平板車的長度不能超過，即平板車的長度；記 ，有=，

===，                                            10分

此后研究函數(shù)的最小值，方法很多；如換元（記，則）或直接求導(dǎo)，以確定函數(shù)在上的單調(diào)性；當(dāng)時取得最小值。                    15分

19． (1)點(diǎn)(n，)在直線y＝x＋上，∴＝n＋，即S_n＝n²＋n，

a_n＝n＋5．                                                                     3分

∵b_n+2－2b_n+1＋b_n＝0(nÎN^*)，∴b_n+2－b_n+1＝ b_n+1－b_n＝…＝ b₂－b₁．

∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，∵b₃＝11，它的前9項(xiàng)和為153，設(shè)公差為d，

則b₁＋2d＝11，9b₁＋×d＝153，解得b₁＝5，d＝3．∴b_n＝3n＋2．                  6分

(2)由(1)得，c_n＝ ＝ ＝(－)，

∴T_n＝b₁＋b₂＋b₃＋…＋b_n＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)

＝(1－)．                                                           9分

∵T_n＝(1－)在nÎN^*上是單調(diào)遞增的，∴T_n的最小值為T₁＝．

∵不等式T_n＞對一切nÎN^*都成立，∴＜．∴k＜19．∴最大正整數(shù)k的值為18．11分

(3) nÎN^*，f(n)＝＝

當(dāng)m為奇數(shù)時，m＋15為偶數(shù)；當(dāng)m為偶數(shù)時，m＋15為奇數(shù)．

若f(m＋15)＝5f(m)成立，則有3（m＋15）＋2＝5(m＋5)(m為奇數(shù))

或m＋15＋5＝5（3m＋2）(m為偶數(shù))．                                      13分

解得m＝11．所以當(dāng)m＝11時，f(m＋15)＝5f(m)．                             16分

20．（1）．                                       2分

  　當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；                     3分

 　 當(dāng)時，時，，在上單調(diào)遞減；         

時，，在上單調(diào)遞增．                 5分

綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．                                         6分

（2）充分性：a=1時，由（1）知，在x=1處有極小值也是最小值，

即。而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

在上由唯一的一個零點(diǎn)x=1．                               9分

必要性： =0在上有唯一解，且a>0, 由（1）知，在x=a處有極小值也是最小值f(a)， f(a)=0,即．

令， ．

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時，，

在上單調(diào)遞減。， =0只有唯一解a=1．

=0在上有唯一解時必有a=1．                           12分

綜上：在a>0時， =0在上有唯一解的充要條件是a=1．

（3）證明：∵1<x<2,∴.

 令，∴，14分

由（1）知，當(dāng)a=1時，，∴，∴．

∴，∴F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴，

∴�！�．             16分

附加題答案

1．解：如圖，連結(jié)OC，因,因此,由于,

所以，又得;      5分   

又因?yàn)?sub>,得,那么,

從而，于是。            10分   

2．解：設(shè)A=，由題知=，=3 

即，                      5分

 ∴        ∴A=       10分

3．解： 直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）故直線的普通方程為  3分

   因?yàn)闉闄E圓上任意點(diǎn)，故可設(shè)其中.

  因此點(diǎn)到直線的距離是            7分

所以當(dāng)，時，取得最大值.                              10分 

4. 證（1）　

∵，，

∴| f(x₁)－f(x₂)|＜| x₁－x₂|                       5分   

（2），∴f(a)＋f(b) ≤

∵    ，

∴                     10分

 5.解：（1）為實(shí)數(shù)，即為實(shí)數(shù)，  ∴b＝3            2分

又依題意，b可取1，2，3，4，5，6

故出現(xiàn)b＝3的概率為

即事件“為實(shí)數(shù)”的概率為                                            5分

（2）由已知，                           6分

可知，b的值只能取1、2、3                          

當(dāng)b＝1時， ，即a可取1，2，3

當(dāng)b＝2時， ，即a可取1，2，3

當(dāng)b＝3時， ，即a可取2                

由上可知，共有7種情況下可使事件“”成立                           9分

又a，b的取值情況共有36種

故事件“”的概率為                                           10分

6.解：（1）∵A₁B₁C₁－ABC為直三棱柱  ∴CC₁⊥底面ABC  ∴CC₁⊥BC

    ∵AC⊥CB   ∴BC⊥平面A₁C₁CA

∴A₁B與平面A₁C₁CA所成角的正切值               3分

（2）分別延長AC，A₁D交于G. 過C作CM⊥A₁G 于M，連結(jié)BM

∵BC⊥平面ACC­₁A₁   ∴CM為BM在平面A₁C₁CA的內(nèi)射影

∴BM⊥A₁G    ∴∠CMB為二面角B―A₁D―A的平面角

  平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D為C₁C的中點(diǎn)

∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，  

   , 

即二面角B―A₁D―A的平面角的正切值為     6分

（3）在線段AC上存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面A₁BD .

其位置為AC中點(diǎn)，證明如下：

∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱柱 ， ∴B₁C₁//BC

∵由（1）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA

∵EF在平面A₁C₁CA內(nèi)的射影為C₁F ，F(xiàn)為AC中點(diǎn) ∴C₁F⊥A₁D  ∴EF⊥A₁D

同理可證EF⊥BD,         ∴EF⊥平面A₁BD

∵E為定點(diǎn)，平面A₁BD為定平面,點(diǎn)F唯一            10分

解法二：（1）同解法一                               3分

（2）∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱住   C₁C=CB=CA=2 , AC⊥CB  D、E分別為C₁C、B₁C₁的中點(diǎn), 建立如圖所示的坐標(biāo)系得

C（0，0，0） B（2，0，0）  A（0，2，0）

C₁（0，0，2）  B₁（2，0，2）  A­₁（0，2，2）

D（0，0，1）  E（1，0，2）

  設(shè)平面A₁BD的法向量為

平面ACC₁A₁­的法向量為=（1，0，0） 

即二面角B―A₁D―A的平面角的正切值為               6分

（3）在線段AC上存在一點(diǎn)F，設(shè)F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD

欲使EF⊥平面A₁BD    由（2）知，當(dāng)且僅當(dāng)//

∴存在唯一一點(diǎn)F（0，1，0）滿足條件. 即點(diǎn)F為AC中點(diǎn)        10分