設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù).且對(duì)任意n∈N*都有a+a+a,其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N*，都有a13+a23+a33+…+=Sn2，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
（I）求證：an2=2Sn-an；
（II）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（III）若bn=3n+（-1）n-1λ•2an（λ為非零常數(shù)，n∈N*），問是否存在整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N*，都有bn+1＞bn，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

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設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N+，都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求證：an2=2Sn-an；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)bn=3n+（-1）n-1λ•2an（λ為非零整數(shù)，n∈N*）試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立．

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設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N+都有an（an+1）=2（an+an…+an）
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=a2n-2a+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）設(shè)cn=3n+（-1）n-1λ-2an（λ為非零整數(shù)，n∈N+），試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N+，都有cn+1＞cn成立．

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設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N*，都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=3n+（-1）n-1λ•2an（λ為非零常數(shù)，n∈N*），問是否存在整數(shù)λ，使得對(duì)任意 n∈N*，都有bn+1＞bn．

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設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N*都有a13+a23+a33+…+an3=sn2其中sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
（1）求證：an2=2sn-an；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

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一、選擇題：

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

B

D

A

B

C

D

C

a

二 填空題：

11：f－1(x)＝lnx－1 (x>0).      12：-30

 

13：                      14：1

 

15：①②④;

 

三、解答題

16．………………………………………………… 2分

⑴當(dāng)時(shí)，，………………………………… 3分

則，…………………………………… 5分

      ∴＝｛x│3≤x≤5｝………………………………………… 7分

⑵∵，，

    ∴有，解得，……………………………  10分

此時(shí)，符合題意．………………………… 12分

17．解：⑴∴=(sinα,1)共線      

  ∴sinα+cosα=………………………………… 2分

故sin2α=-

從而(sinα-cosα)2=1-sin2α=……………………… 4分

∴α∈(-)∴sinα<0，cosα>0

∴sinα-cosα=-……………………………………………6分

⑵∵=2cos2α=1+cos2α…9分

又cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=

∴原式=1+…………………………………………………… 12分

18. 解：⑴

　　　　　....................................2分

又也滿足上式，

　　　　　（）

數(shù)列是公比為2，首項(xiàng)為的等比數(shù)列...........4分

...........................6分

⑵

　

　　.................9分

于是...................12分

19．⑴設(shè)

    …………………………2分

                                     …………4分

    ⑵由⑴，得

                    

                          …………6分

（i）當(dāng)

                          …………8分

（ii）

                        …………10分

（iii）當(dāng)

                            …………12分

綜上所述，   ………………………………13分

20．解：⑴令 ………………………… 1分

……………………………………… 2分

當(dāng)－2＜x≤0時(shí) g’‘（x）≤0；當(dāng)x＞0時(shí)，g‘（x）＞0…………………… 3分

∴g（x）在（－2，0上遞減，在（0，+∞）上遞增……………………… 4分

則x=0時(shí)  g（x）min=g（0）=0   g（x）≥g（x）min=0   ………………… 5分

 即fn（x）≥nx                                    ……………… 6分

⑵∵         即…………… 7分

           易得x0＞0 …………………………… 9分   

而

由⑴知x＞0時(shí)（1+x）n＞1+nx  故2n+1=（1+1）n+1＞n+2    ∴x0＜1… 12分

綜上0＜x0＜1                       ……………………………… 13分

21．解：⑴由已知，當(dāng)n=1時(shí)，a,∵a1>0,∴a1=1. ………… 1分

當(dāng)n≥2時(shí)，…+     ①

             …+        ②

由①―②得，a……………………………………………3分

∵an>0, ∴a=2Sn-1+an，即a=2Sn-an，

當(dāng)n=1時(shí)，∴a1=1適合上式，

∴a………………………………………………………5分

⑵由⑴知，a,即a=2Sn-an(n∈)③

當(dāng)n≥2時(shí)，a=2Sn-1-an-1             ④

由③―④得，

a=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1……………………………7分

∵an+an-1>0,∴an-an-1=1,數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，

可得an=n. …………………………………………………………………9分

(3)∵an=n,∴bn=3n+(-1)n-1λ?=3n+(-1)n-1λ?2n, …………………10分

要使bn+1> bn恒成立，

bn+1-bn=3n+1+(-1)nλ?2n+1-[3n+(-1)n-1λ?2n]

        =2?3n-3λ(-1)n-1?2n>0恒成立

則（-1）n-1?λ<()n-1恒成立…………………………………………11分

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即為λ<()n-1恒成立

又()n-1的最小值為1，       ∴λ<1

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即為λ>-()n-1恒成立

又-()n-1最大值為-         ∴λ>-……………………………12分

∴-<λ<1，又λ≠0，∴λ=-1    ∴λ=-1，使得對(duì)任意n∈，都有bn+1>bn……………13分

 

 

 


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