題目列表(包括答案和解析)
在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，向量
=（sinA,b+c），
=（a－c,sinC－sinB）,滿足
=
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）設(shè)
=（sin（C+
）,
）, 
=（2k,cos2A） （k>1）, 
有最大值為3，求k的值.
【解析】本試題主要考查了向量的數(shù)量積和三角函數(shù)，以及解三角形的綜合運用
第一問中由條件|p +q |=| p －q |，兩邊平方得p·q＝0，又
p=（sinA,b+c）,q=（a－c,sinC－sinB）,代入得（a－c）sinA＋（b+c）（sinC－sinB）＝0，
根據(jù)正弦定理，可化為a（a－c）+（b+c）（c－b）=0,
即
，又由余弦定理
＝2acosB,所以cosB＝，B＝
第二問中，m=（sin（C+）,）,n=（2k,cos2A） （k>1）,m·n=2ksin（C+）+cos2A=2ksin（C+B） +cos2A
=2ksinA+
-=-
+2ksinA+=-
+ （k>1）.
而0<A<
,sinA∈（0,1],故當(dāng)sin＝1時，m·n取最大值為2k-=3,得k＝
.
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
已知數(shù)列
是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d，
為其前n項和，且滿足
,
．?dāng)?shù)列
滿足
,，
為數(shù)列的前n項和．
（1）求數(shù)列的通項公式
和數(shù)列的前n項和；
（2）若對任意的，不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)
，使得
成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．
【解析】第一問利用在
中，令n=1，n=2，
得
即
解得
，，
[
又時，
滿足，
，
第二問，①當(dāng)n為偶數(shù)時，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立．
，等號在n=2時取得．
此時
需滿足
．
②當(dāng)n為奇數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式
恒成立．
是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．
此時 需滿足
．
第三問
，
若
成等比數(shù)列，則
，
即． 
由，可得
，即
，
． 
（1）（法一）在中，令n=1，n=2，
得 即
解得，， [
又時，滿足，
，
．
（2）①當(dāng)n為偶數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
，等號在n=2時取得．
此時 需滿足．
②當(dāng)n為奇數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．
此時 需滿足．
綜合①、②可得的取值范圍是．
（3），
若成等比數(shù)列，則，
即．
由，可得，即，
．
又
，且m>1，所以m=2，此時n=12．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)m=2，
n=12時，數(shù)列
中的成等比數(shù)列
若下列方程：
，
，
，至少有一個方程有實根，試求實數(shù)
的取值范圍．
解：設(shè)三個方程均無實根，則有
解得
，即
．
所以當(dāng)
或
時，三個方程至少有一個方程有實根．
C
[解析] 由基本不等式，得ab≤
＝
＝
－ab，所以ab≤
，故B錯；
＋
＝
＝
≥4，故A錯；由基本不等式得
≤
＝
，即
＋
≤
，故C正確；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D錯．故選C.
1．解：由題意可知A=(-2,3),B=(0,4),∴
=
.
2．解：∵
=3x2,∵在(a,a3)處切線為y-a3=
),切線與直線x=a交于(a,a3),∴曲線
處的切線與x軸、直線
所圍成的三角形的面積為S=
,令S=
,解得a=±1.
3．解：由已知得1-tanαtanβ=tanα-tanβ,∴tanα=
.
4．解：
=
5．解：4位乘客進(jìn)入4節(jié)車廂共有256種不同的可能,6位乘客進(jìn)入各節(jié)車廂的人數(shù)恰為0,1,2,3的方法共有
,∴這6位乘客進(jìn)入各節(jié)車廂的人數(shù)恰好為0，1，2，3的概率為
.
6．解：①菱形不可能,如果這個四邊形是菱形,這時菱形的一條對角線垂直拋物線的對稱軸,這時四邊形的必有一個頂點在拋物線的對稱軸上(非拋物線的頂點); ④平行四邊形,也不可能,因為拋物上四個點組成的四邊形最多有一組對邊平行.故連接拋物線上任意四點組成的四邊形可能是②③⑤.
7． 解：復(fù)數(shù)
=
。
8． 解：
。
9． 解：已知
，
，
，∴ 
，
，
則
=
=
10． 解：在數(shù)列
中，若
，∴ 
，即{
}是以
為首項，2為公比的等比數(shù)列，
，所以該數(shù)列的通項
.
11．解：設(shè)
，函數(shù)
有最大值，∵
有最小值，∴ 0<a<1， 則不等式
的解為
，解得2<x<3，所以不等式的解集為
.
12．解：已知變量
滿足約束條件
在坐標(biāo)系
中畫出可行域，如圖為四邊形ABCD，其中A(3，1)，
，
目標(biāo)函數(shù)
（其中
）中的z表示斜率為－a的直線系中的
截距的大小，若僅在點
處取得最大值，則斜率應(yīng)小于
，即
，所以
的取值范圍為(1，+∞)。
13．【答案】：
【分析】：
14．【答案】：7
【分析】：畫出可行域，當(dāng)直線過點（1，2）時，
15．【答案】：
【分析】：
恒成立，
恒成立， 
16．【答案】：18
【分析】：
和
是方程
的兩根，故有：
或
（舍）。
17．【答案】：25
【分析】：所有的選法數(shù)為
，兩門都選的方法為
。
故共有選法數(shù)為
18．【答案】：
【分析】：
代入
得：
設(shè)
又
19．解：
，
20．解：
又 
點在x=0處連續(xù)，
所以
即
故
21．解：
22．解： 
，
23．解：設(shè)圓心
，直線
的斜率為
， 弦AB的中點為
，
的斜率為
，
則
，所以
由點斜式得
24． 解：
則底面共
，
，
，由分類計數(shù)原理得上底面共
，由分步類計數(shù)原理得共有
種
25．解析：本小題主要考查三點共線問題。
(舍負(fù)).
26．解析：本小題主要考查橢圓的第一定義的應(yīng)用。依題直線
過橢圓的左焦點
,在
中，
，又
，∴
27．解析：本小題主要考查三角形中正弦定理的應(yīng)用。依題由正弦定理得：
,即
,
∴
28．解析：本小題主要考查球的內(nèi)接幾何體體積計算問題。其關(guān)鍵是找出
球心，從而確定球的半徑。由題意，三角形DAC,三角形DBC都
是直角三角形，且有公共斜邊。所以DC邊的中點就是球心（到
D、A、C、B四點距離相等），所以球的半徑就是線段DC長度的一半。
29．解析：本小題主要考查二次函數(shù)問題。對稱軸為
下方圖像翻到
軸上方.由區(qū)間[0，3]上的最大值為2，知
解得
檢驗
時,
不符,而
時滿足題意.
30．解析：本小題主要考查排列組合知識。依題先排除1和2的剩余4個元素有
種方案，再向這排好的4個元素中插入1和2捆綁的整體，有
種插法，
∴不同的安排方案共有
種。
31．解析：本小題主要考查線性規(guī)劃的相關(guān)知識。由
恒成立知，當(dāng)
時，
恒成立，∴
；同理
，∴以,b為坐標(biāo)點
所形成的平面區(qū)域是一個正方形，所以面積為1.
32．解析：
，所以
，系數(shù)為
.
33．解析：由
得
，所以
，表面積為
.
34．解析：拋物線的焦點為
，所以圓心坐標(biāo)為
，
，圓C的方程為
.
35．解析：令
，
，則
所以
.
36．解析：
所以
.
37．解析：由已知得
，單調(diào)遞減，所以當(dāng)
時，
所以
，因為有且只有一個常數(shù)
符合題意，所以
，解得，所以的取值的集合為
.
38．【解】：∵
展開式中
項為
∴所求系數(shù)為
故填
【點評】：此題重點考察二項展開式中指定項的系數(shù)，以及組合思想；
【突破】：利用組合思想寫出項，從而求出系數(shù)；
39．【解】：如圖可知：過原心作直線
的垂線，則
長即為所求；
∵
的圓心為
，半徑為
點
到直線的距離為
∴ 
故
上各點到的距離的最小值為
【點評】：此題重點考察圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點到直線的距離；
【突破】：數(shù)形結(jié)合，使用點到直線的距離距離公式。
40．【解】：如圖可知：∵
∴
∴正四棱柱的體積等于
【點評】：此題重點考察線面角，解直角三角形，以及求正四面題的體積；
【突破】：數(shù)形結(jié)合，重視在立體幾何中解直角三角形，熟記有關(guān)公式。
41．【解】：∵等差數(shù)列的前
項和為
，且
∴
即
∴
∴
，
， 
∴
故
的最大值為
，應(yīng)填
【點評】：此題重點考察等差數(shù)列的通項公式，前項和公式，以及不等式的變形求范圍；
【突破】：利用等差數(shù)列的前項和公式變形不等式，利用消元思想確定
或
的范圍解答本題的關(guān)鍵；
42．解：
43．解：設(shè)
則
，即
則
是等邊三角形，
，
在
中，
故
44．解：①
，向量與
垂直
②
③
構(gòu)成等邊三角形，
與
的夾角應(yīng)為
所以真命題只有②。
45．解：分兩類：第一棒是丙有
,第一棒是甲、乙中一人有
因此共有方案
種
46．【答案】 2
【解析】
＝
則向量與向量
共線
47．【答案】 2
【解析】
，∴切線的斜率
，所以由
得
48．【答案】
【解析】設(shè)A（
，
）B（
，
）由
，
，（
）；∴由拋物線的定義知
【考點】直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線定義的應(yīng)用
49．【答案】兩組相對側(cè)面分別平行；一組相對側(cè)面平行且全等；對角線交于一點；底面是平行四邊形．
注：上面給出了四個充要條件．如果考生寫出其他正確答案，同樣給分．
50.答案：
解析：本小題主要考查求反函數(shù)基本知識。求解過程要注意依據(jù)函數(shù)的定義域進(jìn)行分段求解以及反函數(shù)的定義域問題。
51.答案：
解析：本小題主要考查立體幾何球面距離及點到面的距離。設(shè)球的半徑為
,則
,∴
設(shè)
、兩點對球心張角為
，則
,∴
,∴
,∴
為
所在平面的小圓的直徑，∴
,設(shè)所在平面的小圓圓心為
，則球心到平面ABC的距離為
52.答案：5
解析：本小題主要考查二項式定理中求特定項問題。依題
對
中，只有
時，其展開式既不出現(xiàn)常數(shù)項，也不會出現(xiàn)與、乘積為常數(shù)的項。
53.答案：
解析：本小題主要針對考查三角函數(shù)圖像對稱性及周期性。依題
且
在區(qū)間
有最小值,無最大值,∴區(qū)間為的一個半周期的子區(qū)間，且知的圖像關(guān)于
對稱，∴
,取
得
54．解：由已知得
,則
55．解：
56．
57．解：真命題的代號是： BD 。易知所盛水的容積為容器容量的一半，故D正確，于是A錯誤；水平放置時由容器形狀的對稱性知水面經(jīng)過點P，故B正確；C的錯誤可由圖1中容器位置向右邊傾斜一些可推知點P將露出水面。
58.【答案】
【解析】
59.【答案】
【解析】
60.【答案】(-1,2)
【解析】由函數(shù)
的圖象過點(1,2)得: 
即函數(shù)
過點
則其反函數(shù)過點
所以函數(shù)
的圖象一定過點
61.【答案】
, 
【解析】（1）當(dāng)a＞0時，由
得
,所以的定義域是;
(2) 當(dāng)a＞1時，由題意知
;當(dāng)0<a<1時，為增函數(shù),不合;
當(dāng)a<0時，在區(qū)間
上是減函數(shù).故填.
62.【答案】
, 6
【解析】
第二空可分:
①當(dāng)
時, 
;
②當(dāng) 
時, 
;
③當(dāng)
時, 
;
所以
也可用特殊值法或i和j同時出現(xiàn)6次.
63．解：由余弦定理，原式
64.解：由題意知
所以
，所以解集為
。
65.解：依題意
，所以
66.解：由觀察可知當(dāng)
，每一個式子的第三項的系數(shù)是成等差數(shù)列的，所以
，
第四項均為零，所以
。
67．解：令
，令得
所以 
68． 解：圓心為
，要沒有公共點，根據(jù)圓心到直線的距離大于半徑可得
，即
，
69．解：依題可以構(gòu)造一個正方體,其體對角線就是外接球的直徑.
,
70． 解：①對除法如
不滿足，所以排除，
②取
,對乘法
, ③④的正確性容易推得。
71．【答案】: -1
【分析】: a
－2ai－1＝a－1－2ai＝2i，a=－1
【考點】: 復(fù)數(shù)的運算
【易錯】: 增根a=1沒有舍去。
72．【答案】: 0
【分析】: 利用數(shù)形結(jié)合知，向量a與
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