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題目列表(包括答案和解析)

(Ⅰ)求證:
C
m
n
=
n
m
C
m-1
n-1
;
(Ⅱ)利用第(Ⅰ)問的結(jié)果證明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1;  
(Ⅲ)其實(shí)我們常借用構(gòu)造等式,對同一個(gè)量算兩次的方法來證明組合等式,譬如:(1+x)1+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=
(1+x)[1-(1+x)n]
1-(1+x)
=
(1+x)n+1-(1+x)
x
;,由左邊可求得x2的系數(shù)為C22+C32+C42+…+Cn2,利用右式可得x2的系數(shù)為Cn+13,所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13.請利用此方法證明:(C2n02-(C2n12+(C2n22-(C2n32+…+(C2n2n2=(-1)nC2nn

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(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)利用第(Ⅰ)問的結(jié)果證明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1;  
(Ⅲ)其實(shí)我們常借用構(gòu)造等式,對同一個(gè)量算兩次的方法來證明組合等式,譬如:(1+x)1+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=;,由左邊可求得x2的系數(shù)為C22+C32+C42+…+Cn2,利用右式可得x2的系數(shù)為Cn+13,所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13.請利用此方法證明:(C2n2-(C2n12+(C2n22-(C2n32+…+(C2n2n2=(-1)nC2nn

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由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式.
對于cos3x,我們有
cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
=4cos3x-3cocs.
可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式.
一般地,存在一個(gè)n次多項(xiàng)式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),這些多項(xiàng)式Pn(t)稱為切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多項(xiàng)式.
(1)請嘗試求出P4(t),即用一個(gè)cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x.
(2)化簡cos(60°-θ)cos(60°+θ)cosθ,并利用此結(jié)果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值.

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(2012•徐匯區(qū)一模)對于數(shù)列{xn},從中選取若干項(xiàng),不改變它們在原來數(shù)列中的先后次序,得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列.某同學(xué)在學(xué)習(xí)了這一個(gè)概念之后,打算研究首項(xiàng)為a1,公差為d的無窮等差數(shù)列{an}的子數(shù)列問題,為此,他取了其中第一項(xiàng)a1,第三項(xiàng)a3和第五項(xiàng)a5
(1)若a1,a3,a5成等比數(shù)列,求d的值;
(2)在a1=1,d=3 的無窮等差數(shù)列{an}中,是否存在無窮子數(shù)列{bn},使得數(shù)列(bn)為等比數(shù)列?若存在,請給出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式并證明;若不存在,說明理由;
(3)他在研究過程中猜想了一個(gè)命題:“對于首項(xiàng)為正整數(shù)a,公比為正整數(shù)q(q>1)的無窮等比數(shù)列{cn},總可以找到一個(gè)子數(shù)列{bn},使得{dn}構(gòu)成等差數(shù)列”.于是,他在數(shù)列{cn}中任取三項(xiàng)ck,cm,cn(k<m<n),由ck+cn與2cm的大小關(guān)系去判斷該命題是否正確.他將得到什么結(jié)論?

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由于濃酸泄漏對河流形成了污染,現(xiàn)決定向河中投入固體堿.1個(gè)單位的固體堿在水中逐步溶化,水中的堿濃度y與時(shí)間x的關(guān)系,可近似地表示為y=
-
16
x+2
-x+8    0≤x≤2
4-x                  2<x≤4
.只有當(dāng)河流中堿的濃度不低于1時(shí),才能對污染產(chǎn)生有效的抑制作用.
(1)如果只投放1個(gè)單位的固體堿,則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間有多長?
(2)當(dāng)河中的堿濃度開始下降時(shí),即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿,此后,每一時(shí)刻河中的堿濃度認(rèn)為是各次投放的堿在該時(shí)刻相應(yīng)的堿濃度的和,求河中堿濃度可能取得的最大值.

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