只要同時滿足即可.解得:②將證明不等式的問題 “轉化 為關于a的一次函數(shù).這就需要“造 一個一次函數(shù)如下: 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)

(Ⅰ)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間;

(Ⅱ)當時,在曲線上是否存在兩點,使得曲線在兩點處的切線均與直線交于同一點?若存在,求出交點縱坐標的取值范圍;若不存在,請說明理由;

(Ⅲ)若在區(qū)間存在最大值,試構造一個函數(shù),使得同時滿足以下三個條件:①定義域,且;②當時,;③在中使取得最大值時的值,從小到大組成等差數(shù)列.(只要寫出函數(shù)即可)

 

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已知遞增等差數(shù)列滿足:,且成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列的通項公式;

(2)若不等式對任意恒成立,試猜想出實數(shù)的最小值,并證明.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中,利用設數(shù)列公差為

由題意可知,即,解得d,得到通項公式,第二問中,不等式等價于,利用當時,;當時,;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。

解:(1)設數(shù)列公差為,由題意可知,即

解得(舍去).      …………3分

所以,.        …………6分

(2)不等式等價于

時,;當時,

,所以猜想,的最小值為.     …………8分

下證不等式對任意恒成立.

方法一:數(shù)學歸納法.

時,,成立.

假設當時,不等式成立,

時,, …………10分

只要證  ,只要證  ,

只要證  ,只要證  ,

只要證  ,顯然成立.所以,對任意,不等式恒成立.…14分

方法二:單調性證明.

要證 

只要證  ,  

設數(shù)列的通項公式,        …………10分

,    …………12分

所以對,都有,可知數(shù)列為單調遞減數(shù)列.

,所以恒成立,

的最小值為

 

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已知集合U={1,2,…,n},n∈N*.設集合A同時滿足下列三個條件:
①A⊆U;
②若x∈A,則2x∉A;
③若x∈CUA,則2x∉CUA.
(1)當n=4時,一個滿足條件的集合A是
{2},或{1,4},或{2,3},或{1,3,4}
{2},或{1,4},或{2,3},或{1,3,4}
;(寫出一個即可)
(2)當n=7時,滿足條件的集合A的個數(shù)為
16
16

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已知函數(shù)f(x)=2x2+ax-1,g(log2x)=x2-
x2a-2

(1)求函數(shù)g(x)的解析式,并寫出當a=1時,不等式g(x)<8的解集;
(2)若f(x)、g(x)同時滿足下列兩個條件:①?t∈[1,4]使f(-t2-3)=f(4t) ②?x∈(-∞,a],g(x)<8.
求實數(shù)a的取值范圍.

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已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(x∈R)同時滿足:①不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素;②在定義域內存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.設數(shù)列{an}的前n項和Sn=f(n).
(1)求函數(shù)f(x)的表達式;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)在各項均不為零的數(shù)列{cn}中,若ci•ci+1<0,則稱ci,ci+1為這個數(shù)列{cn}一對變號項.令cn=1-
aan
(n為正整數(shù)),求數(shù)列{cn}的變號項的對數(shù).

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