題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)(注意:在試題卷上作答無(wú)效)
乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定,一局比賽,雙方比分在10平前,一方連續(xù)發(fā)球2次后,對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次,依次輪換,每次發(fā)球,勝方得1分,負(fù)方得0分。設(shè)在甲、乙的比賽中,每次發(fā)球,發(fā)球1分的概率為0.6,各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立。甲、乙的一局比賽中,甲先發(fā)球。
(I) 求開(kāi)球第4次發(fā)球時(shí),甲、乙的比分為1比2的概率;
(II) 求開(kāi)始第5次發(fā)球時(shí),甲得分領(lǐng)先的概率。
一支車隊(duì)有15輛車,某天依次出發(fā)執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù),第一輛車于下午2時(shí)出發(fā),第二輛車于下午2時(shí)10分出發(fā),第三輛車于下午2時(shí)20分出發(fā),依此類推。假設(shè)所有的司機(jī)都連續(xù)開(kāi)車,并都在下午6時(shí)停下來(lái)休息。
(1)到下午6時(shí)最后一輛車行駛了多長(zhǎng)時(shí)間?
(2)如果每輛車的行駛速度都是60,這個(gè)車隊(duì)當(dāng)天一共行駛了多少千米?
【解析】第一問(wèn)中,利用第一輛車出發(fā)時(shí)間為下午2時(shí),每隔10分鐘即小時(shí)出發(fā)一輛
則第15輛車在小時(shí),最后一輛車出發(fā)時(shí)間為:小時(shí)
第15輛車行駛時(shí)間為:小時(shí)(1時(shí)40分)
第二問(wèn)中,設(shè)每輛車行駛的時(shí)間為:,由題意得到
是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列
則行駛的總時(shí)間為:
則行駛的總里程為:運(yùn)用等差數(shù)列求和得到。
解:(1)第一輛車出發(fā)時(shí)間為下午2時(shí),每隔10分鐘即小時(shí)出發(fā)一輛
則第15輛車在小時(shí),最后一輛車出發(fā)時(shí)間為:小時(shí)
第15輛車行駛時(shí)間為:小時(shí)(1時(shí)40分) ……5分
(2)設(shè)每輛車行駛的時(shí)間為:,由題意得到
是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列
則行駛的總時(shí)間為: ……10分
則行駛的總里程為:
已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若過(guò)點(diǎn)A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問(wèn),利用函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x
(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數(shù)∴m=-2x03+6x02-6
然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數(shù)求導(dǎo)數(shù),判定單調(diào)性,從而得到要是有三解,則需要滿足-6<m<2
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c
依題意
又f′(0)=-3
∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x
(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),
∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3
∴切線方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)
又切線過(guò)點(diǎn)A(2,m)
∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)
∴m=-2x03+6x02-6
令g(x)=-2x3+6x2-6
則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)
由g′(x)=0得x=0或x=2
∴g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減.
∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2
畫(huà)出草圖知,當(dāng)-6<m<2時(shí),m=-2x3+6x2-6有三解,
所以m的取值范圍是(-6,2).
已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,2),且拋物線的焦點(diǎn)為F1.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí),求直線l的方程和圓P的方程.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。第一問(wèn)中,設(shè)出橢圓的方程,然后結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120259226615718_ST.files/image003.png">,這樣可知得到。第二問(wèn)中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到
,再利用可以結(jié)合韋達(dá)定理求解得到m的值和圓p的方程。
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為
①………………………………1分
②………………2分
③ 由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分
所以橢圓E的方程為…………………………4分
(Ⅱ)依題意,直線OC斜率為1,由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m,……………5分
代入橢圓E方程,得…………………………6分
………………………7分
、………………8分
………………………9分
……………………………10分
當(dāng)m=3時(shí),直線l方程為y=-x+3,此時(shí),x1 +x2=4,圓心為(2,1),半徑為2,
圓P的方程為(x-2)2+(y-1)2=4;………………………………11分
同理,當(dāng)m=-3時(shí),直線l方程為y=-x-3,
圓P的方程為(x+2)2+(y+1)2=4
在本次數(shù)學(xué)期中考試試卷中共有10道選擇題,每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中只有一個(gè)是正確的。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:“每題只選一項(xiàng),答對(duì)得5分,不答或答錯(cuò)得0分”.某考生每道題都給出一個(gè)答案, 且已確定有7道題的答案是正確的,而其余題中,有1道題可判斷出兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的,有一道可以判斷出一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的,還有一道因不了解題意只能亂猜。試求出該考生:
(1)選擇題得滿分(50分)的概率;
(2)選擇題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望。
【解析】第一問(wèn)總利用獨(dú)立事件的概率乘法公式得分為50分,10道題必須全做對(duì).在其余的3道題中,有1道題答對(duì)的概率為,有1道題答對(duì)的概率為,還有1道答對(duì)的概率為,
所以得分為50分的概率為:
第二問(wèn)中,依題意,該考生得分的范圍為{35,40,45,50}
得分為35分表示只做對(duì)了7道題,其余各題都做錯(cuò),
所以概率為
得分為40分的概率為:
同理求得,得分為45分的概率為:
得分為50分的概率為:
得到分布列和期望值。
解:(1)得分為50分,10道題必須全做對(duì).在其余的3道題中,有1道題答對(duì)的概率為,有1道題答對(duì)的概率為,還有1道答對(duì)的概率為,
所以得分為50分的概率為: …………5分
(2)依題意,該考生得分的范圍為{35,40,45,50} …………6分
得分為35分表示只做對(duì)了7道題,其余各題都做錯(cuò),
所以概率為 …………7分
得分為40分的概率為: …………8分
同理求得,得分為45分的概率為: …………9分
得分為50分的概率為: …………10分
所以得分的分布列為
35 |
40 |
45 |
50 |
|
|
數(shù)學(xué)期望
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