題目列表(包括答案和解析)
已知,設(shè)命題:不等式解集為R;命題:方程沒有實根,如果命題p或q為真命題,p且q為假命題,求的取值范圍.
【解析】本題先求出p、q為真時的c的取值范圍;然后再對p、q一真一假兩種情況進行討論求解,最后求并集即可.
已知二次函數(shù)的二次項系數(shù)為,且不等式的解集為,
(1)若方程有兩個相等的根,求的解析式;
(2)若的最大值為正數(shù),求的取值范圍.
【解析】第一問中利用∵f(x)+2x>0的解集為(1,3),
設(shè)出二次函數(shù)的解析式,然后利用判別式得到a的值。
第二問中,
解:(1)∵f(x)+2x>0的解集為(1,3),
①
由方程
②
∵方程②有兩個相等的根,
∴,
即5a2-4a-1=0,解得a=1(舍) 或 a=-1/5
a=-1/5代入①得:
(2)由
由 解得:
故當f(x)的最大值為正數(shù)時,實數(shù)a的取值范圍是
已知函數(shù)其中為自然對數(shù)的底數(shù), .(Ⅰ)設(shè),求函數(shù)的最值;(Ⅱ)若對于任意的,都有成立,求的取值范圍.
【解析】第一問中,當時,,.結(jié)合表格和導數(shù)的知識判定單調(diào)性和極值,進而得到最值。
第二問中,∵,,
∴原不等式等價于:,
即, 亦即
分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍
解:(Ⅰ)當時,,.
當在上變化時,,的變化情況如下表:
|
- |
+ |
|
||
1/e |
∴時,,.
(Ⅱ)∵,,
∴原不等式等價于:,
即, 亦即.
∴對于任意的,原不等式恒成立,等價于對恒成立,
∵對于任意的時, (當且僅當時取等號).
∴只需,即,解之得或.
因此,的取值范圍是
已知函數(shù);
(1)若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍。
(2)若函數(shù),若在[1,e]上至少存在一個x的值使成立,求實數(shù)的取值范圍。
【解析】第一問中,利用導數(shù),因為在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù),所以 內(nèi)滿足恒成立,得到結(jié)論第二問中,在[1,e]上至少存在一個x的值使成立,等價于不等式 在[1,e]上有解,轉(zhuǎn)換為不等式有解來解答即可。
解:(1),
因為在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù),
所以 內(nèi)滿足恒成立,即恒成立,
亦即,
即可 又
當且僅當,即x=1時取等號,
在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)的實數(shù)k的取值范圍是.
(2)在[1,e]上至少存在一個x的值使成立,等價于不等式 在[1,e]上有解,設(shè)
上的增函數(shù),依題意需
實數(shù)k的取值范圍是
已知數(shù)列的前項和為,且 (N*),其中.
(Ⅰ) 求的通項公式;
(Ⅱ) 設(shè) (N*).
①證明: ;
② 求證:.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用關(guān)系式,表示通項公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到,②由于,
所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。
解:(Ⅰ)當時,由得. ……2分
若存在由得,
從而有,與矛盾,所以.
從而由得得. ……6分
(Ⅱ)①證明:
證法一:∵∴
∴
∴.…………10分
證法二:,下同證法一. ……10分
證法三:(利用對偶式)設(shè),,
則.又,也即,所以,也即,又因為,所以.即
………10分
證法四:(數(shù)學歸納法)①當時, ,命題成立;
②假設(shè)時,命題成立,即,
則當時,
即
即
故當時,命題成立.
綜上可知,對一切非零自然數(shù),不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
從而.
也即
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