一段長(zhǎng)為32米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18米，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

【解析】解：令矩形與墻垂直的兩邊為寬并設(shè)矩形寬為，則長(zhǎng)為

所以矩形的面積   （）     （4分=128    （8分）

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有最大值128

所以當(dāng)矩形的長(zhǎng)為=16，寬為8時(shí)，

菜園面積最大，最大面積為128 （13分）答：當(dāng)矩形的長(zhǎng)為16米，寬為8米時(shí)。菜園面積最大，最大面積為128平方米（注：也可用二次函數(shù)模型解答）

已知函數(shù)f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值

于是對(duì)一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).　　　　　　　�、�

令則

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí)，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即

從而，又

所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個(gè)．

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(2)若數(shù)列{a_n}滿足a₁＝，a_n+1＝f(a_n)，b_n＝－1，n∈N^*，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出{b_n}的通項(xiàng)公式；

(3)在(2)的條件下，證明：a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n<1(n∈N^*)．

【解析】解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.

由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，

也就是2ax²－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，

∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝.…………………………………………4分

(2)a_n＋1＝f(a_n)＝(n∈N^*)，b_n＝－1， ∴＝＝＝，

∴{b_n}為等比數(shù)列，q＝.又∵a₁＝，∴b₁＝－1＝，

b_n＝b₁q^n－1＝^n－1＝ⁿ(n∈N^*)．……………………………9分

(3)證明：∵a_nb_n＝a_n＝1－a_n＝1－＝，

∴a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n＝＋＋…＋<＋＋…＋

＝＝1－<1(n∈N^*)．

解關(guān)于的不等式：

【解析】解：當(dāng)時(shí)，原不等式可變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917361445396888/SYS201206191737418133756853_ST.files/image004.png">，即            （2分）

 當(dāng)時(shí)，原不等式可變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917361445396888/SYS201206191737418133756853_ST.files/image007.png">         （5分）  若時(shí)，的解為            （7分）

 若時(shí)，的解為         （9分） 若時(shí)，無(wú)解（10分） 若時(shí)，的解為  （12分綜上所述

當(dāng)時(shí)，原不等式的解為

當(dāng)時(shí)，原不等式的解為

當(dāng)時(shí)，原不等式的解為

當(dāng)時(shí)，原不等式的解為

當(dāng)時(shí)，原不等式的解為：

乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換。每次發(fā)球，勝方得1分，負(fù)方得0分。設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立。甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球。

（Ⅰ）求開始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2的概率；

（Ⅱ）表示開始第4次發(fā)球時(shí)乙的得分，求的期望。

【解析】解：