（2012•浦東新區(qū)一模）設(shè)函數(shù)T(x)=

2x，  0≤x＜ 1 2 2(1-x)，   1 2 ≤x≤1

（1）求函數(shù)y=T（sin（

π

2

x））和y=sin（

π

2

T（x））的解析式；
（2）是否存在非負(fù)實數(shù)a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；
（3）定義T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①當(dāng)x∈[0，

1

2n

]時，求y=T_n（x）的解析式；
已知下面正確的命題：當(dāng)x∈[

i-1

2n

，

i+1

2n

]（i∈N^*，1≤i≤2ⁿ-1）時，都有T_n（x）=T_n（

i

2n-1

-x）恒成立．
②對于給定的正整數(shù)m，若方程T_m（x）=kx恰有2^m個不同的實數(shù)根，確定k的取值范圍；若將這些根從小到大排列組成數(shù)列{x_n}（1≤n≤2^m），求數(shù)列{x_n}所有2^m項的和．