題目列表(包括答案和解析)
7、9、10班同學做乙題,其他班同學任選一題,若兩題都做,則以較少得分計入總分.
(甲)已知f(x)=ax-ln(-x),x∈[-e,0),,其中e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù),a∈R.
(1)若a=-1,求f(x)的極值;
(2)求證:在(1)的條件下,;
(3)是否存在實數(shù)a,使f(x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,說明理由.
(乙)定義在(0,+∞)上的函數(shù),其中e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù),a∈R.
(1)若函數(shù)f(x)在點x=1處連續(xù),求a的值;
(2)若函數(shù)f(x)為(0,1)上的單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;并判斷此時函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是否為單調(diào)函數(shù);
(3)當x∈(0,1)時,記g(x)=lnf(x)+x2-ax. 試證明:對,當n≥2時,有
一、選擇題(每題5分,共60分):
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
理D
文A
B
D
D
B
A
B
A
C
理D
文A
D
A
二、填空題(每題4分,共16分):
13.1 14. 15.; 16. 24。
三、解答題(本大題共6小題,共74分):
17解:sin3x=sin(2x+x)=sin2xcosx+cos2xsinx=2sinxcosx+(1-2sinx)sinx=3sinx-4sinx
∴f(x)=3-4sinx+2sin2x=3-2(1-cos2x)+2sin2x
=1+2sin(2x+)(x≠kπ k∈Z) ……(6分)
(1)f(x)的周期T=………………(8分)
(2)當sin(2x+)= -1 x= +kπ (k∈Z)時,f(x)=1-2…………(10分)
此時x的集合為{x|x= +kπ,k∈Z)………………(12分)
18、解:(1)P=1-=……(4分)
(2)要使值為整數(shù) 當a=1時,(a,b)=(1,1),(1,2),(1,4)
當a=2時,(a,b)=(2,1),(2,4) 當a=3時,(a,b)=(3,1),(3,6)
a=4,5,6時,(a,b)分別為(4,1)(5,1)(6,1) 共10種 ……(10分)
故所求概率為P== ……………………(12分)
19、(1)當λ=時,面BEF⊥面ACD …(2分)
證明如下:== EF∥CD
CD⊥面ABC ,又CD∥EF
∴ 面BEF⊥面ACB …………… (6分)
(2)作EO⊥CF于O,連BO
∵ BE⊥面EFC
∴EO為BO在面EFC內(nèi)射影∴BO⊥CF
∴∠EOB為二面角E-CF-B的平面角…………(8分)
在RtΔEFC中EO?CF=EC?EF
EO?= ? EO=
在Rt△BOE中,BE= EO=………………(10分)
∴ ∠EOB= = ∴ ∠EOB=60°故二面角E-CF-B的大小為60°(12分)
20、解(1)f '(x)=+x (x>0)
若a≥0,則f ' (x)>0 f(x)在(0,+∞)遞增………(2分)
若a<0,令f ' (x)=0 x =±
f ' (x)=>0, 又x>0x∈(,+∞)
f ' (x)<0 x∈(0,)
∴f(x)的遞增區(qū)間為(,+∞),遞減區(qū)間為(0,)……(6分)
(2)令φ(x)=f(x)-g(x)= lnx++ (x>0)
則φ ' (x)= +x==
令φ ' (x)=0 x=1………………………………(8分)
當0<x<1時,φ ' (x)>0φ (x)遞增 當x>1時,φ ' (x)<0 φ (x)遞減
∴x=1時φ (x)=-+=0……………………(10分)
∴φ (x)≤0 即f (x)≤g(x) ∴a=1時的f(x)圖象不在g(x)圖象上方………(12分)
22.解:((1) 可設(shè), 得= tan
==
(2) 設(shè), 得直線的方程為
方程 = -
所以 所以有
由得 所以
=(
(3) 證明:當時,
左邊=
=
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