3)求二面角的大小. : 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

在四棱錐中,平面,底面為矩形,.

(Ⅰ)當(dāng)時,求證:

(Ⅱ)若邊上有且只有一個點,使得,求此時二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時,底面ABCD為正方形,

又因為,………………2分

,得證。

第二問,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》

要使,只要

所以,即………6分

由此可知時,存在點Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得

由此知道a=2,  設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解:(Ⅰ)當(dāng)時,底面ABCD為正方形,

又因為,………………3分

(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系,如圖所示,

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要

所以,即………6分

由此可知時,存在點Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得由此知道a=2,

設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

 

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如圖所示的長方體中,底面是邊長為的正方形,的交點,,是線段的中點.

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求證:平面;

(Ⅲ)求二面角的大小.

【解析】本試題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理,以及二面角的求解的運用。中利用,又平面,平面,∴平面,,又,∴平面. 可得證明

(3)因為∴為面的法向量.∵,,

為平面的法向量.∴利用法向量的夾角公式,,

的夾角為,即二面角的大小為

方法一:解:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.連接,則點,

,又點,,∴

,且不共線,∴

平面,平面,∴平面.…………………4分

(Ⅱ)∵,

,,即,

,∴平面.   ………8分

(Ⅲ)∵,∴平面,

為面的法向量.∵,

為平面的法向量.∴,

的夾角為,即二面角的大小為

 

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