[解](Ⅰ)證明:平面平面,, 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

在復(fù)平面內(nèi), 是原點(diǎn),向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是,=2+i。

(Ⅰ)如果點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)

(Ⅱ)復(fù)數(shù),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C,D。試判斷A、B、C、D四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上?并證明你的結(jié)論。

【解析】第一問中利用復(fù)數(shù)的概念可知得到由題意得,A(2,1)  ∴B(2,-1)   ∴  =(0,-2) ∴=-2i  ∵ (2+i)(-2i)=2-4i,      ∴  =

第二問中,由題意得,=(2,1)  ∴

同理,所以A、B、C、D四點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離相等,

∴A、B、C、D四點(diǎn)在以O(shè)為圓心,為半徑的圓上

(Ⅰ)由題意得,A(2,1)  ∴B(2,-1)   ∴  =(0,-2) ∴=-2i     3分

     ∵ (2+i)(-2i)=2-4i,      ∴  =                 2分

(Ⅱ)A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上。                              2分

證明:由題意得,=(2,1)  ∴

  同理,所以A、B、C、D四點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離相等,

∴A、B、C、D四點(diǎn)在以O(shè)為圓心,為半徑的圓上

 

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如圖,平面ABDE⊥平面ABC,ACBC,AC=BC=4,四邊形ABDE是直角梯形,BDAE,BDBA,AE=2BD=4,O、M分別為CE、AB的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明:OD//平面ABC;

(Ⅱ)能否在EM上找一點(diǎn)N,使得ON⊥平面ABDE?若能,請(qǐng)指出點(diǎn)N的位置,并加以證明;若不能,請(qǐng)說明理由.

【解析】第一問:取AC中點(diǎn)F,連結(jié)OF、FB.∵F是AC的中點(diǎn),O為CE的中點(diǎn),

∴OF∥EA且OF=且BD=

∴OF∥DB,OF=DB,

∴四邊形BDOF是平行四邊形。

∴OD∥FB

第二問中,當(dāng)N是EM中點(diǎn)時(shí),ON⊥平面ABDE。           ………7分

證明:取EM中點(diǎn)N,連結(jié)ON、CM, AC=BC,M為AB中點(diǎn),∴CM⊥AB,

又∵面ABDE⊥面ABC,面ABDE面ABC=AB,CM面ABC,

∴CM⊥面ABDE,∵N是EM中點(diǎn),O為CE中點(diǎn),∴ON∥CM,

∴ON⊥平面ABDE。

 

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如圖,已知直線)與拋物線和圓都相切,的焦點(diǎn).

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)設(shè)上的一動(dòng)點(diǎn),以為切點(diǎn)作拋物線的切線,直線軸于點(diǎn),以、為鄰邊作平行四邊形,證明:點(diǎn)在一條定直線上;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,記點(diǎn)所在的定直線為,    直線軸交點(diǎn)為,連接交拋物線、兩點(diǎn),求△的面積的取值范圍.

【解析】第一問中利用圓的圓心為,半徑.由題設(shè)圓心到直線的距離.  

,解得舍去)

設(shè)與拋物線的相切點(diǎn)為,又,得,.     

代入直線方程得:,∴    所以,

第二問中,由(Ⅰ)知拋物線方程為,焦點(diǎn).   ………………(2分)

設(shè),由(Ⅰ)知以為切點(diǎn)的切線的方程為.   

,得切線軸的點(diǎn)坐標(biāo)為    所以,,    ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911460473385651/SYS201207091146532963151648_ST.files/image007.png">是定點(diǎn),所以點(diǎn)在定直線

第三問中,設(shè)直線,代入結(jié)合韋達(dá)定理得到。

解:(Ⅰ)由已知,圓的圓心為,半徑.由題設(shè)圓心到直線的距離.  

,解得舍去).     …………………(2分)

設(shè)與拋物線的相切點(diǎn)為,又,得,.     

代入直線方程得:,∴    所以,.      ……(2分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知拋物線方程為,焦點(diǎn).   ………………(2分)

設(shè),由(Ⅰ)知以為切點(diǎn)的切線的方程為.   

,得切線軸的點(diǎn)坐標(biāo)為    所以,,    ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911460473385651/SYS201207091146532963151648_ST.files/image007.png">是定點(diǎn),所以點(diǎn)在定直線上.…(2分)

(Ⅲ)設(shè)直線,代入,  ……)得,                 ……………………………     (2分)

,

的面積范圍是

 

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如圖所示,四面體被一平面所截,截面是一個(gè)平行四邊形.求證:;

【答案】(理)證明:EH∥FG,EH,

EH∥面,又CDEH∥CD, 又EH面EFGH,CD面EFGH

EH∥BD  

【解析】本試題主要是考查了空間四面體中線面位置關(guān)系的判定。

要證明線面平行可知通過線線平行,結(jié)合判定定理得到結(jié)論。

 

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(Ⅰ)證明PC⊥AD;

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;

(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長(zhǎng).

 

【解析】解法一:如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).

(1)證明:易得,于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量,

,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

(3)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.

,故 

所以,,解得,即.

解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.

(2)如圖,作于點(diǎn)H,連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,

因此所以二面角的正弦值為.

(3)如圖,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">,故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點(diǎn)為F,連接BE,EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,

中,由,,

可得.由余弦定理,,

所以.

 

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