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題目列表(包括答案和解析)

已知函數f(x)是定義在[-e,0)∪(0,e]上的奇函數,當x∈(0,e]時,f(x)=ax+lnx(其中e是自然界對數的底,a∈R)
(1)求f(x)的解析式;
(2)設g(x)=
ln|x|
|x|
,x∈[-e,0)
,求證:當a=-1時,f(x)>g(x)+
1
2
;
(3)是否存在實數a,使得當x∈[-e,0)時,f(x)的最小值是3?如果存在,求出實數a的值;如果不存在,請說明理由.

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已知數列{an}中,a1=1,且點P(an,an+1)(n∈N*)在直線x-y+1=0上.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若函數f(n)=
1
n+a1
+
1
n+a2
+
1
n+a3
+…+
1
n+an
(n∈N,且n≥2)
,求函數f(n)的最小值;
(3)設bn=
1
an
,Sn
表示數列{bn}的前項和.試問:是否存在關于n的整式g(n),使得S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)•g(n)對于一切不小于2的自然數n恒成立?若存在,寫出g(n)的解析式,并加以證明;若不存在,試說明理由.

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已知二次函數f(x)=ax2+bx,f(x+1)為偶函數,函數f(x)的圖象與直線y=x相切.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函數g(x)=[f(x)-k]x在(-∞,+∞)上是單調減函數,那么:
①求k的取值范圍;
②是否存在區(qū)間[m,n](m<n),使得f(x)在區(qū)間[m,n]上的值域恰好為[km,kn]?若存在,請求出區(qū)間[m,n];若不存在,請說明理由.

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已知函數f(x)=
mxx2+n
(m,n∈R)
在x=1處取得極值2,
(1)求f(x)的解析式;
(2)設A是曲線y=f(x)上除原點O外的任意一點,過OA的中點且垂直于x軸的直線交曲線于點B,試問:是否存在這樣的點A,使得曲線在點B處的切線與OA平行?若存在,求出點A的坐標;若不存在,說明理由;
(3)設函數g(x)=x2-2ax+a,若對于任意x1∈R的,總存在x2∈[-1,1],使得g(x2)≤f(x1),求實數a的取值范圍.

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已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦點和上頂點分別為F1、F2、B,我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形.如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形,則稱這兩個橢圓為“相似橢圓”,且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比.已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
以拋物線y2=4
3
x
的焦點為一個焦點,且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4.(1)若橢圓C2與橢圓C1相似,且相似比為2,求橢圓C2的方程.
(2)已知點P(m,n)(mn≠0)是橢圓C1上的任一點,若點Q是直線y=nx與拋物線x2=
1
mn
y
異于原點的交點,證明點Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上.
(3)已知直線l:y=x+1,與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb,是否存在正方形ABCD,使得A,C在直線l上,B,D在曲線Cb上,若存在求出函數f(b)=SABCD的解析式及定義域,若不存在,請說明理由.

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