已知遞增等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，試猜想出實(shí)數(shù)的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問中，利用設(shè)數(shù)列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項(xiàng)公式，第二問中，不等式等價(jià)于，利用當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價(jià)于，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對(duì)任意恒成立．

方法一：數(shù)學(xué)歸納法．

當(dāng)時(shí)，，成立．

假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，

當(dāng)時(shí)，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對(duì)任意，不等式恒成立．…14分

方法二：?jiǎn)握{(diào)性證明．

要證 

只要證  ，  

設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，        …………10分

，    …………12分

所以對(duì)，都有，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．

 

如圖，設(shè)圓的半徑為1，弦心距為；正n邊形的邊長(zhǎng)為，面積為．由勾股定理，得

　　容易知道．

　　觀察圖1，不難發(fā)現(xiàn)，正2n邊形的面積等于正n邊形的面積加上n個(gè)等腰三角形的面積，即

利用這個(gè)遞推公式，我們可以得到：

正六邊形的面積

正十二邊形的面積________；

正二十四邊形的面積________；

…

請(qǐng)問n的輸入值滿足什么條件？n的輸出組表示什么？當(dāng)n不斷增大，的值不斷趨近于什么？用循環(huán)結(jié)構(gòu)編寫出程序，還用Scilab語言編寫一個(gè)程序．

如圖，設(shè)圓的半徑為1，弦心距為；正n邊形的邊長(zhǎng)為，面積為．由勾股定理，得

　　容易知道．

　　觀察圖1，不難發(fā)現(xiàn)，正2n邊形的面積等于正n邊形的面積加上n個(gè)等腰三角形的面積，即

利用這個(gè)遞推公式，我們可以得到：

正六邊形的面積

正十二邊形的面積________；

正二十四邊形的面積________；

…

請(qǐng)問n的輸入值滿足什么條件？n的輸出組表示什么？當(dāng)n不斷增大，的值不斷趨近于什么？用循環(huán)結(jié)構(gòu)編寫出程序，還用Scilab語言編寫一個(gè)程序．

如下圖，設(shè)圓的半徑為1，弦心距為h_n；正n邊形的邊長(zhǎng)為x_n，面積為S_n，由勾股定理，得

h_n=容易知道x₆=1.

    觀察上圖，不難發(fā)現(xiàn)，正2n邊形的面積等于正n邊形的面積加上n個(gè)等腰三角形的面積，即S_2n=S_n+n··x_n（1-h_n）（n≥6）利用這個(gè)遞推公式，我們可以得到：

正六邊形的面積S₆=6×；正十二邊形的面積S₁₂=_______________；正二十四邊形的面積S₂₄=_______________________.

……

    當(dāng)n不斷增大，S_2n的值不斷趨近于什么？

    用循環(huán)結(jié)構(gòu)編寫程序.

設(shè)命題內(nèi)單調(diào)遞增，命題的

A．充分不必要條件                                        B．必要不充分條件

C．充分必要條件                                           D．即不充分也不必要條件