當(dāng) 故當(dāng)n=k+1時命題成立. 【查看更多】

 

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已知是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，是等比數(shù)列，且，.

（Ⅰ）求數(shù)列與的通項公式；

（Ⅱ）記，，證明（）.

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.

由，得，，.

由條件，得方程組，解得

所以，，.

（2）證明：（方法一）

由（1）得

     ①

   ②

由②-①得

而

故，

（方法二：數(shù)學(xué)歸納法）

①  當(dāng)n=1時，，，故等式成立.

②  假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即，則當(dāng)n=k+1時，有：

   

   

即，因此n=k+1時等式也成立

由①和②，可知對任意，成立.

 

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對于不等式
n2+n
＜n+1（n∈N*），某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：
（1）當(dāng)n=1時，
12+1
＜1+1，不等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時，不等式成立，即
k2+k
＜k+1，則當(dāng)n=k+1時，
(k+1)2+(k+1)
=
k2+3k+2
＜
(k2+3k+2)+(k+2)
=
(k+2)2
=（k+1）+1，∴當(dāng)n=k+1時，不等式成立．
則上述證法（　�。�
A、過程全部正確
B、n=1驗得不正確
C、歸納假設(shè)不正確
D、從n=k到n=k+1的推理不正確

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假設(shè)n=k時成立，當(dāng)n=k+1時，證明1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2n-1
＞
n
2
(n∈N+)，左端增加的項數(shù)是（　�。�

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用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3•5•…•（2n-1）時，當(dāng)n=k+1時，其形式是
（k+2）（k+3）…（2k+2）=2k+1•1•3•5•…•（2k+1）
（k+2）（k+3）…（2k+2）=2k+1•1•3•5•…•（2k+1）
．

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證明1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2n-1
＞
n
2
（n∈N*），假設(shè)n=k時成立，當(dāng)n=k+1時，左端增加的項數(shù)是（　�。�
A、1項
B、k-1項
C、k項
D、2k項

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