題目列表(包括答案和解析)
在數(shù)列中,,當(dāng)時,
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求和 綜合運(yùn)用。第一問中 ,利用,得到且,故故為以1為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列. 從而
第二問中,
由及知,從而可得且
故為以1為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列.
從而 ……………………6分
(2)……………………9分
A.和4 B. 和28
C.3和28 D.-3和28
設(shè)等比數(shù)列的公比,前項(xiàng)和為。已知 求的通項(xiàng)公式
【解析】本試題主要考查了等比數(shù)列的運(yùn)用。利用等比數(shù)列的公比,前項(xiàng)和為,故有,利用,可知
解方程組可得,代入函數(shù)關(guān)系式中得到
已知遞增等差數(shù)列滿足:,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若不等式對任意恒成立,試猜想出實(shí)數(shù)的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問中,利用設(shè)數(shù)列公差為,
由題意可知,即,解得d,得到通項(xiàng)公式,第二問中,不等式等價于,利用當(dāng)時,;當(dāng)時,;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。
解:(1)設(shè)數(shù)列公差為,由題意可知,即,
解得或(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等價于,
當(dāng)時,;當(dāng)時,;
而,所以猜想,的最小值為. …………8分
下證不等式對任意恒成立.
方法一:數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)時,,成立.
假設(shè)當(dāng)時,不等式成立,
當(dāng)時,, …………10分
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,顯然成立.所以,對任意,不等式恒成立.…14分
方法二:單調(diào)性證明.
要證
只要證 ,
設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式, …………10分
, …………12分
所以對,都有,可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.
而,所以恒成立,
故的最小值為.
n |
k=1 |
1 |
lg(ak+2)lg(ak+1+2) |
lim |
n→∞ |
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