數(shù)列，滿足

（1）求，并猜想通項(xiàng)公式。

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想。

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。第一問(wèn)利用遞推關(guān)系式得到，，，，并猜想通項(xiàng)公式

第二問(wèn)中，用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想。

①對(duì)n=1，等式成立。

②假設(shè)n=k時(shí)，成立，

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

，所以當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立可證。

數(shù)列，滿足

（1），，，并猜想通項(xiàng)公。  …4分

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想。①對(duì)n=1，等式成立。  …5分

②假設(shè)n=k時(shí)，成立，

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

，             ……9分

所以

所以當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立                     ……11分

由①②知，猜想對(duì)一切自然數(shù)n均成立

 

已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)定點(diǎn)任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點(diǎn)。

（I）求曲線的方程；

（II）試證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分

【解析】第一問(wèn)中設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，

∴，曲線的方程為

第二問(wèn)中，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　

∵，∴

確定結(jié)論直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn)．

然后設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ，則，  

要使被軸平分，只要得到。

（1）設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，

∴，曲線的方程為．  ………………2分       

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　，……5分            

∵，∴，

∴直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn)．（也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論）

………………6分

設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ，則，   

要使被軸平分，只要，            ………………9分

即，，        ………………10分

也就是，，

即，即只要　 ………………12分　 

當(dāng)時(shí)，（＊）對(duì)任意的s都成立，從而總能被軸平分．

所以在x軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分

 

有以下三個(gè)不等式：

 ；

；

．

請(qǐng)你觀察這三個(gè)不等式，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明你的結(jié)論。

【解析】根據(jù)已知條件可知?dú)w納猜想結(jié)論為

下面給出運(yùn)用綜合法的思想求解和證明。解：結(jié)論為：．     …………………5分

證明：

所以

 

已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和；

（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（3）證明：不等式  對(duì)任意的，都成立．

【解析】第一問(wèn)中，由于所以

兩式作差，然后得到

從而得到結(jié)論

第二問(wèn)中，利用裂項(xiàng)求和的思想得到結(jié)論。

第三問(wèn)中，

又

       

結(jié)合放縮法得到。

解：（1）∵     ∴

      ∴

      ∴   ∴  ………2分

      又∵正項(xiàng)數(shù)列，∴           ∴ 

又n=1時(shí)，

∴   ∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列……………3分

∴                             …………………4分

∴                   …………………5分 

（2）       …………………6分

    ∴

                          …………………9分

（3）

      …………………12分

又

        ，

   ∴不等式  對(duì)任意的，都成立．

 

在本次數(shù)學(xué)期中考試試卷中共有10道選擇題，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得0分”.某考生每道題都給出一個(gè)答案, 且已確定有7道題的答案是正確的，而其余題中，有1道題可判斷出兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道可以判斷出一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道因不了解題意只能亂猜。試求出該考生：

（1）選擇題得滿分(50分)的概率；

（2）選擇題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望。

【解析】第一問(wèn)總利用獨(dú)立事件的概率乘法公式得分為50分，10道題必須全做對(duì)．在其余的3道題中，有1道題答對(duì)的概率為，有1道題答對(duì)的概率為，還有1道答對(duì)的概率為，

所以得分為50分的概率為：

第二問(wèn)中，依題意，該考生得分的范圍為｛35，40，45，50｝         

得分為35分表示只做對(duì)了7道題，其余各題都做錯(cuò)，

所以概率為                            

得分為40分的概率為： 

同理求得，得分為45分的概率為： 

得分為50分的概率為：

得到分布列和期望值。

解：（1）得分為50分，10道題必須全做對(duì)．在其余的3道題中，有1道題答對(duì)的概率為，有1道題答對(duì)的概率為，還有1道答對(duì)的概率為，

所以得分為50分的概率為：                   …………5分

（2）依題意，該考生得分的范圍為｛35，40，45，50｝            …………6分

得分為35分表示只做對(duì)了7道題，其余各題都做錯(cuò)，

所以概率為                              …………7分

得分為40分的概率為：     …………8分

同理求得，得分為45分的概率為：                     …………9分

得分為50分的概率為：                      …………10分

所以得分的分布列為

	35	40	45	50

數(shù)學(xué)期望