13、用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N^*時(shí)，1+2+2²+…+2^5n-1是31的倍數(shù)時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，原式的值為；從k到k+1時(shí)需增添的項(xiàng)是．

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，且對(duì)任意的正整數(shù)n都有Sn=

an+n2

2

．
（1）求a₁，a₂及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：b₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，bn=an2(

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an-12

)，證明：當(dāng)n≥2時(shí)，

bn+1

(n+1)2

-

bn

n2

=

1

n2

；
（3）在（2）的條件下，試比較(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)…(1+

1

bn

)與4的大小關(guān)系．

已知數(shù)列{α_n}的前n項(xiàng)和為S_n，α₁=l，S_n=（2ⁿ-1）α_n（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{α_n}是等比數(shù)列；
（2）記T_n=n×α₁+（n-1）α₂+（n-2）α₃+…+2×α_n-1+1×α_n（n∈N^*），求L；
（3）證明：當(dāng)n≥2（n∈N^*）時(shí)，（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_n）≤6（1-2α_n+1）．

設(shè)函數(shù)f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）試通過(guò)研究函數(shù)g（x）=

ln(1+x)

x

（x＞0）的單調(diào)性證明：當(dāng)n＞m＞0時(shí)，（1+n）^m＜（1+m）ⁿ；
（Ⅲ）證明：當(dāng)n＞2013，且x₁，x₂，x₃，…，x_n均為正實(shí)數(shù)，x₁+x₂+x₃+…+x_n=1 時(shí)，(

x 2 1

1+x1

+

x 2 2

1+x2

+

x 2 3

1+x3

+…+

x 2 n

1+xn

)

1

n

＞(

1

2014

)

1

2013

．