已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=2ⁿ（n∈N^*），b_n=3a_n．
（1）試證數(shù)列{an-

1

3

×2n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）在數(shù)列{b_n}中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）①試證在數(shù)列{b_n}中，一定存在滿(mǎn)足條件1＜r＜s的正整數(shù)r，s，使得b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列；并求出正整數(shù)r，s之間的關(guān)系．
②在數(shù)列{b_n}中，是否存在滿(mǎn)足條件1＜r＜s＜t的正整數(shù)r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差數(shù)列？若存在，確定正整數(shù)r，s，t之間的關(guān)系；若不存在，說(shuō)明理由．

已知函數(shù)f（x），如果存在給定的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，則稱(chēng)f（x）為“S-函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f₁（x）=x，f₂（x）=3^x是否是“S-函數(shù)”；
（2）若f₃（x）=tanx是一個(gè)“S-函數(shù)”，求出所有滿(mǎn)足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）；
（3）若定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是“S-函數(shù)”，且存在滿(mǎn)足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（0，1）和（1，4），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇1，2]，求當(dāng)x∈[-2012，2012]時(shí)函數(shù)f（x）的值域．

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

，g（x）=sinx-

2

π

x（其中常數(shù)a，b∈R，π是圓周率）．
（I）當(dāng)a=1時(shí)，若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，求f（x）的極值點(diǎn)；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（III）當(dāng)b=0，a∈（

π

2

，π]時(shí)，求函數(shù)g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a，，使得對(duì)任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．

已知3，5，21是各項(xiàng)均為整數(shù)的無(wú)窮等差數(shù)列{a_n}的三項(xiàng)，若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，給出關(guān)于數(shù)列{a_n}的4個(gè)命題：1滿(mǎn)足條件的d有8個(gè)不同的取值；2存在滿(mǎn)足條件的數(shù)列{a_n}，使得對(duì)任意的n∈N^*，都有S_2n=4S_n成立；3對(duì)任意滿(mǎn)足條件的d，存在a₁，使得99一定是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)；4對(duì)任意滿(mǎn)足條件的d，存在a₁，使得30一定是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)；則其中所有正確命題的序號(hào)是．