（2012•揚(yáng)州模擬）已知等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)a₁=1．
（Ⅰ）若

S1

+

S3

=2

S2

，求S₅；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}中存在兩兩互異的正整數(shù)m、n、p同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①m+p=2n；②

Sm

+

Sp

=2

Sn

，求數(shù)列的通項(xiàng)a_n；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中的數(shù)列{a_n}，設(shè)bn=3•(

1

2

)an（n∈N^*），集合T_n={b_i•b_j|1≤i≤j≤n，i，j∈N^*}，記集合T_n中所有元素之和B_n，試問：是否存在正整數(shù)n和正整數(shù)k，使得不等式

1

bnBn-k

+

1

k-bn+1Bn+1

＞0成立？若存在，請(qǐng)求出所有n和k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

若數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)為2，0，2，0，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式不能是（　�。�

（2008•奉賢區(qū)模擬）我們規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)A，若存在數(shù)列{a_n}和實(shí)數(shù)x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，則稱數(shù)A可以表示成x進(jìn)制形式，簡(jiǎn)記為：A=

.

x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)

．如：A=

.

2\～(-1)(3)(-2)(1)

，則表示A是一個(gè)2進(jìn)制形式的數(shù)，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），試將m表示成x進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式．
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，ak+1=

1

1-ak

，k∈N*，bn=

.

2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)

（n∈N^*），是否存在實(shí)常數(shù)p和q，對(duì)于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．
（3）若常數(shù)t滿足t≠0且t＞-1，dn=

.

t\～( C 1 n )( C 2 n )( C 3 n )…( C n-1 n )( C n n )

，求

lim

n→∞

dn

dn+1

．

（2012•黃浦區(qū)一模）已知a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₁=1，a₂=-6_a，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-ba_n（n∈N^*）．
（1）求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）已知數(shù)列{c_n}滿足c_n=

an

3n

（n∈N^*），試建立數(shù)列{c_n}的遞推公式（要求不含a_n或b_n）；
（3）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n．

（2012•豐臺(tái)區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x²+x，f'（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f'（a_n），且a₁=1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=b，b_n+1=f（b_n）．
（�。┦欠翊嬖趯�(shí)數(shù)b，使得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列？若存在，求出b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（ⅱ）若b＞0，求證：

n

i=1

bi

bi+1

＜

1

b

．