（2012•棗莊一模）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，對(duì)任意的n∈N^*，a_n+2是a_n+1與a_n的等差中項(xiàng)．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-a_n，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；
（2）寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式（不要求計(jì)算過(guò)程），令cn=

3

2

n(

5

3

-an)，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

（2012•豐臺(tái)區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x²+x，f'（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f'（a_n），且a₁=1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=b，b_n+1=f（b_n）．
（ⅰ）是否存在實(shí)數(shù)b，使得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列？若存在，求出b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（ⅱ）若b＞0，求證：

n

i=1

bi

bi+1

＜

1

b

．

（2013•資陽(yáng)一模）在數(shù)列{a_n}中，如果對(duì)任意的n∈N^*，都有

an+2

an+1

-

an+1

an

=λ（λ為常數(shù)），則稱數(shù)列{a_n}為比等差數(shù)列，λ稱為比公差．現(xiàn)給出以下命題：
①若數(shù)列{F_n}滿足F₁=1，F(xiàn)₂=1，F(xiàn)_n=F_n-1+F_n-2（n≥3），則該數(shù)列不是比等差數(shù)列；
②若數(shù)列{a_n}滿足an=(n-1)•2n-1，則數(shù)列{a_n}是比等差數(shù)列，且比公差λ=2；
③等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列；
④若{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，則數(shù)列{a_nb_n}是比等差數(shù)列．
其中所有真命題的序號(hào)是．

已知常數(shù)a、b都是正整數(shù)，函數(shù)f(x)=

x

bx+1

（x＞0），數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，

1

an+1

=f(

1

an

)（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a=8b，且等比數(shù)列{b_n}同時(shí)滿足：①b₁=a₁，b₂=a₅；②數(shù)列{b_n}的每一項(xiàng)都是數(shù)列{a_n}中的某一項(xiàng)．試判斷數(shù)列{b_n}是有窮數(shù)列或是無(wú)窮數(shù)列，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；
（3）對(duì)問(wèn)題（2）繼續(xù)探究，若b₂=a_m（m＞1，m是常數(shù)），當(dāng)m取何正整數(shù)時(shí)，數(shù)列{b_n}是有窮數(shù)列；當(dāng)m取何正整數(shù)時(shí)，數(shù)列{b_n}是無(wú)窮數(shù)列，并說(shuō)明理由．