某學(xué)生在證明等差數(shù)列前n項和公式時，證法如下：

    (1)當(dāng)n=1時，S₁=a₁顯然成立。

    (2)假設(shè)n=k時，公式成立，即S_n=ka₁+。

當(dāng)n=k+1時，

    ∴n=k+1時公式成立。

    ∴由(1)、(2)知，對n∈N，公式都成立。

    以上證明錯誤的是(　　)

A.當(dāng)n取第一個值1時，證明不對

B.歸納假設(shè)的寫法不對

C.從n=k到，n=k+1的推理中未用歸納假設(shè)

D.從n=k到n=k+1的推理有錯誤

 

某學(xué)生在證明等差數(shù)列前n項和公式時，證法如下：

    (1)當(dāng)n=1時，S₁=a₁顯然成立。

    (2)假設(shè)n=k時，公式成立，即S_n=ka₁+。

當(dāng)n=k+1時，

    ∴n=k+1時公式成立。

    ∴由(1)、(2)知，對n∈N，公式都成立。

    以上證明錯誤的是(　　)

A.當(dāng)n取第一個值1時，證明不對

B.歸納假設(shè)的寫法不對

C.從n=k到，n=k+1的推理中未用歸納假設(shè)

D.從n=k到n=k+1的推理有錯誤

 

已知是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列

（Ⅰ）若 ，是否存在，有？請說明理由；

（Ⅱ）若（a、q為常數(shù)，且aq0）對任意m存在k，有，試求a、q滿足的充要條件；

（Ⅲ）若試確定所有的p,使數(shù)列中存在某個連續(xù)p項的和式數(shù)列中的一項，請證明.

【解析】第一問中，由得，整理后，可得、，為整數(shù)不存在、，使等式成立。

（2）中當(dāng)時，則

即，其中是大于等于的整數(shù)

反之當(dāng)時，其中是大于等于的整數(shù)，則，

顯然，其中

、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數(shù)

（3）中設(shè)當(dāng)為偶數(shù)時，式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，

當(dāng)為偶數(shù)時，式不成立。由式得，整理

當(dāng)時，符合題意。當(dāng)，為奇數(shù)時，

結(jié)合二項式定理得到結(jié)論。

解（1）由得，整理后，可得、，為整數(shù)不存在、，使等式成立。

（2）當(dāng)時，則即，其中是大于等于的整數(shù)反之當(dāng)時，其中是大于等于的整數(shù)，則，

顯然，其中

、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數(shù)

（3）設(shè)當(dāng)為偶數(shù)時，式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，

當(dāng)為偶數(shù)時，式不成立。由式得，整理

當(dāng)時，符合題意。當(dāng)，為奇數(shù)時，

   由，得

當(dāng)為奇數(shù)時，此時，一定有和使上式一定成立。當(dāng)為奇數(shù)時，命題都成立

 

已知遞增等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若不等式對任意恒成立，試猜想出實數(shù)的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中，利用設(shè)數(shù)列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于，利用當(dāng)時，；當(dāng)時，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價于，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對任意恒成立．

方法一：數(shù)學(xué)歸納法．

當(dāng)時，，成立．

假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，

當(dāng)時，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調(diào)性證明．

要證 

只要證  ，  

設(shè)數(shù)列的通項公式，        …………10分

，    …………12分

所以對，都有，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．