等差數(shù)列{ a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，記S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，令b_n=a_na_n+1，數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和為T_n．
（1）求a_n和S_n；
（2）求證：T_n＜

1

3

；
（3）是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T₁，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．

等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公差都是

2

3

，記{a_n}前n項(xiàng)和為S_n．等比數(shù)列{b_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，記{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
（Ⅰ） 寫出S_i（i=1，2，3，4，5）構(gòu)成的集合A；
（Ⅱ） 若q為正整數(shù)，問是否存在大于1的正整數(shù)k，使得T_k，T_2k同時(shí)為集合A中的元素？若存在，寫出所有符合條件的{b_n}的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅲ） 若將S_n中的整數(shù)項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{c_n}，求{c_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式．

等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，{b_n}為等比數(shù)列，b₁=1，且b₂S₂=6，b₃S₃=24，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令Cn=

n

bn

+

1

an•an+2

，T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n，求T_n．
①求T_n；
②記f(k)=

19

2

-2Tk-

k+2

2k-2

(k∈N*)，若f(k)≥

21

110

恒成立，求k的最大值．

等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，{b_n}為等比數(shù)列，b₁=2，且b₂S₂=32，b₃S₃=120．
（1）求a_n與b_n；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（3）若

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

≤x2+ax+1對(duì)任意正整數(shù)n和任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1；等比數(shù)列{b_n}中，b₁=1．若a₃+S₃=14，b₂S₂=12
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設(shè)cn=an+2bn(n∈N*)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．若對(duì)一切n∈N^*不等式T_n≥λ恒成立，求λ的最大值．