定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y）（x，y∈R），且當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）≠0．
（Ⅰ）求證：f（0）=0；    
（Ⅱ）證明：f（x）是偶函數(shù)，并求f（x）的表達(dá)式；
（III） 若f（x）+a＞ax對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（2013•鐵嶺模擬）已知函數(shù)f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）
（I）若f（x）能表示成一個(gè)奇函數(shù)g（x）和一個(gè)偶函數(shù)h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（II）命題P：函數(shù)f（x）在區(qū)間[（a+1）²，+∞）上是增函數(shù)；命題Q：函數(shù)g（x）是減函數(shù)．如果命題P、Q有且僅有一個(gè)是真命題，求a的取值范圍；
（III）在（II）的條件下，比較f（2）與3-lg2的大�。�

已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx-2

3

sin²ωx+

3

（ω＞0），直線(xiàn)x=x₁，x=x₂是函數(shù)y=f（x）的圖象的任意兩條對(duì)稱(chēng)軸，且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

．
（I）求ω的值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（III）若f（a）=

2

3

，求sin（

5

6

π-4a）的值．

已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意的x₁，x₂都滿(mǎn)足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（I）試判斷并證明f（x）的奇偶性；
（II）試判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（III）若f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)＞0對(duì)所有的θ∈[0，

π

2

]均成立，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍．