當(dāng)()時(shí).f(x)單增. --- 3分 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

下列四個(gè)命題:

 的展開(kāi)式共有6項(xiàng);

②設(shè)回歸直線(xiàn)方程為=2-2.5x,當(dāng)變量x增加—個(gè)單位時(shí),y平均增加2.5個(gè)單位;

③已知ξ服從正態(tài)分布N (0,),且P(-2≤ξ≤0)=0.4,則P(ξ>2)=0.2;

④已知函數(shù)f(a)=,則f[f()]=1-cos1.其中正確命題的個(gè)數(shù)為

   (A)4          (B)3             (C)2            (D)1

 

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(本小題滿(mǎn)分16分)設(shè)函數(shù)fx)=x4bx2cxd,當(dāng)xt1時(shí),fx)有極小值.
(1)若b=-6時(shí),函數(shù)fx)有極大值,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,若存在實(shí)數(shù)c,使函數(shù)fx)在閉區(qū)間[m-2,m+2]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若函數(shù)fx)只有一個(gè)極值點(diǎn),且存在t2∈(t1,t1+1),使f ′(t2)=0,證明:函數(shù)gx)=fx)-x2t1x在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)最多有一個(gè)零點(diǎn).

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已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線(xiàn)的斜率為-3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若過(guò)點(diǎn)A(2,m)可作曲線(xiàn)y=f(x)的三條切線(xiàn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問(wèn),利用函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線(xiàn)的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x

(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數(shù)∴m=-2x03+6x02-6

然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數(shù)求導(dǎo)數(shù),判定單調(diào)性,從而得到要是有三解,則需要滿(mǎn)足-6<m<2

解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c

依題意

又f′(0)=-3

∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x

(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),

∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3

∴切線(xiàn)方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)

又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(2,m)

∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)

∴m=-2x03+6x02-6

令g(x)=-2x3+6x2-6

則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)

由g′(x)=0得x=0或x=2

∴g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減.

∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2

畫(huà)出草圖知,當(dāng)-6<m<2時(shí),m=-2x3+6x2-6有三解,

所以m的取值范圍是(-6,2).

 

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