19．設(shè)數(shù)列 記 (Ⅰ)求a2.a3, (Ⅱ)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列.并證明你的結(jié)論, (Ⅲ)求 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分12分）

某次國(guó)際象棋友誼賽在中國(guó)隊(duì)和烏克蘭隊(duì)之間舉行，比賽采用積分制，比賽規(guī)則規(guī)定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，根據(jù)以往戰(zhàn)況，每局中國(guó)隊(duì)贏的概率為，烏克蘭隊(duì)贏的概率為，且每局比賽輸贏互不影響.若中國(guó)隊(duì)第n局的得分記為，令.

（1）求的概率；

（2）若規(guī)定：當(dāng)其中一方的積分達(dá)到或超過4分時(shí)，比賽不再繼續(xù)，否則，繼續(xù)進(jìn)行.設(shè)隨機(jī)變量表示此次比賽共進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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（本小題滿分12分）
某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種（分別稱為品種甲和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn).選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙.
（I）假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（II）試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個(gè)小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表：

分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？
附：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xa的樣本方差，其中為樣本平均數(shù).

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（本小題滿分12分）
某電視臺(tái)擬舉行“團(tuán)隊(duì)共享”沖關(guān)比賽，其規(guī)則如下：比賽共設(shè)有“常識(shí)關(guān)”和“創(chuàng)新關(guān)”兩關(guān)，每個(gè)團(tuán)隊(duì)共兩人，每人各沖一關(guān)，“常識(shí)關(guān)”中有2道不同必答題，“創(chuàng)新關(guān)”中有3道不同必答題；如果“常識(shí)關(guān)”中的2道題都答對(duì)，則沖“常識(shí)關(guān)”成功且該團(tuán)隊(duì)獲得單項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)900元，否則無獎(jiǎng)勵(lì)；如果“創(chuàng)新關(guān)”中的3道題至少有2道題答對(duì)，則沖“創(chuàng)新關(guān)”成功且該團(tuán)隊(duì)獲得單項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)1800元，否則無獎(jiǎng)勵(lì)．現(xiàn)某團(tuán)隊(duì)中甲沖擊“常識(shí)關(guān)”，乙沖擊“創(chuàng)新關(guān)”，已知甲回答“常識(shí)關(guān)”中每道題正確的概率都為，乙回答“創(chuàng)新關(guān)”中每道題正確的概率都為，且兩關(guān)之間互不影響，每道題回答正確與否相互獨(dú)立．
(I)求此沖關(guān)團(tuán)隊(duì)在這5道必答題中只有2道回答正確且沒有獲得任何獎(jiǎng)勵(lì)的概率；
(Ⅱ)記此沖關(guān)團(tuán)隊(duì)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)總金額為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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（本小題滿分12分）

假設(shè)某班級(jí)教室共有4扇窗戶，在每天上午第三節(jié)課上課預(yù)備鈴聲響起時(shí)，每扇窗戶或被敞開或被關(guān)閉，且概率均為0.5，記此時(shí)教室里敞開的窗戶個(gè)數(shù)為．  

(1)求的分布列,以及的數(shù)學(xué)期望；

(2)若此時(shí)教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶被關(guān)閉，班長(zhǎng)就會(huì)將關(guān)閉的窗戶全部敞開，否則維持原狀不變．記每天上午第三節(jié)課上課時(shí)該教室里敞開的窗戶個(gè)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．

 

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（本小題滿分12分）

某電視臺(tái)擬舉行“團(tuán)隊(duì)共享”沖關(guān)比賽，其規(guī)則如下：比賽共設(shè)有“常識(shí)關(guān)”和“創(chuàng)新關(guān)”兩關(guān)，每個(gè)團(tuán)隊(duì)共兩人，每人各沖一關(guān)，“常識(shí)關(guān)”中有2道不同必答題，“創(chuàng)新關(guān)”中有3道不同必答題；如果“常識(shí)關(guān)”中的2道題都答對(duì)，則沖“常識(shí)關(guān)”成功且該團(tuán)隊(duì)獲得單項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)900元，否則無獎(jiǎng)勵(lì)；如果“創(chuàng)新關(guān)”中的3道題至少有2道題答對(duì)，則沖“創(chuàng)新關(guān)”成功且該團(tuán)隊(duì)獲得單項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)1800元，否則無獎(jiǎng)勵(lì)．現(xiàn)某團(tuán)隊(duì)中甲沖擊“常識(shí)關(guān)”，乙沖擊“創(chuàng)新關(guān)”，已知甲回答“常識(shí)關(guān)”中每道題正確的概率都為，乙回答“創(chuàng)新關(guān)”中每道題正確的概率都為，且兩關(guān)之間互不影響，每道題回答正確與否相互獨(dú)立．

(I)求此沖關(guān)團(tuán)隊(duì)在這5道必答題中只有2道回答正確且沒有獲得任何獎(jiǎng)勵(lì)的概率；

(Ⅱ)記此沖關(guān)團(tuán)隊(duì)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)總金額為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

 

 

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一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1―5：CBCBD  6―10：DCAA

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9．   10．   11．15  12．（1，e） e  13．②③  14．

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

15．（共13分）

解：（I） 令，解得

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

（II）因?yàn)?/p>

所以

因?yàn)樵冢ǎ?，3）上，所以在[－1，2]上單調(diào)遞增，又由于在

[－2，－1]上單調(diào)遞減，因此和分別是在區(qū)間[－2，2]上的最大值和

最小值.

于是有，解得

故  因此

即函數(shù)在區(qū)間[－2，2]上的最小值為－7.

解法一：

   （Ⅰ）在直四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，

∵A1A⊥底面ABCD，

∴AC是A1C在平面ABCD上的射影，

∵BD⊥AC， ∴BD⊥A1C.

   （Ⅱ）連結(jié)A1E，C1E，A1C1.

與（Ⅰ）同理可證BD⊥A1E，BD⊥C1E，

∴∠A1EC1二面角A1―BD―C1的平面角.

∵AD⊥DC， ∴∠A1D1C1=∠ADC=90°，

又A1D1=AD=2，D1C1=DC=2， AA1=，且AC⊥BD，

∴A1C1=4，AE=1，EC=3，  ∴A1E=2，C1E=2，

在△A1EC1中，A1C12=A1E2+C1E2，  ∴∠A1EC1=90°，

即二面角A1―BD―C1的大小為90°.

   （Ⅲ）過B作BF//AD交AC于F，連結(jié)FC1，

    則∠C1BF就是AD與BC1所成的角.

∵AB=AD=2，BD⊥AC，AE=1，  ∴BF=2，EF=1，F(xiàn)C=2，BC=DC，

∴FC1=.  在△BFC1中，

∴

即異面直線AD與BC1所成角的大小為.

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

與（Ⅰ）同理可證，BD⊥A1E，BD⊥C1E，

∴∠A1EC1為二面角A1―BD―C1的平面角.

（Ⅲ）如圖，由D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，，，），B（3，，0）

∴異面直線AD與BC1所成角的大小為arccos.

解法三：

（II）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為E.

     連結(jié)A1E，C1E，A1C1.

     與（I）同理可證，BD⊥A1E，BD⊥C1E，

     ∴∠A1EC1為二面角A1―BD―C1的平面角.

     由E（0，0，0），A1（0，－1，

     

.

    （Ⅲ）如圖，由A（0，－1，0），D（，0，0），B（，0，0），C1（0，3，）.

得.

∵

∴

∴異面直線AD與BC1所成角的大小為arccos.

17．（共13分）

解：（Ⅰ）

ξ的概率分布如下表：

ξ

0

1

2

3

P

Eξ=0?+1?+2?+3?=1.5   （或Eξ=3?）

   （Ⅱ）乙至多擊中目標(biāo)2次的概率為

   （Ⅲ）設(shè)甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A，甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次為事件B1，甲恰擊中目標(biāo)3次且乙恰擊中目標(biāo)1次為事件B2，則A=B1+B2，B1、B2為互斥事件.

    P（A）=P（B1）+P（B2）=

    所以，甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為

18．（共14分）

       解：（I）

      

       （II）直線由題意得

      

   （III）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，可設(shè)直線l的方程為. 由于直線l，曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，且l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱，于是M1M2，M3M4的中點(diǎn)坐標(biāo)都為（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐標(biāo)都為，即它們的重心重合.

       當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為

       由

       由直線l與曲線C有兩個(gè)不同交點(diǎn)，可知

      

      

       于是△OM1M2的重心與△OM3M4的重心也重合.

19．（共12分）

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）因?yàn)?/p>

所以

猜想：是公比為的等比數(shù)列.

證明如下： 因?yàn)?/p>

所以是首項(xiàng)為的等比數(shù)列.

（Ⅲ）

20．（共14分）

   （Ⅰ）證明：設(shè)的峰點(diǎn)，則由單峰函數(shù)定義可知，上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

當(dāng)，

這與是含峰區(qū)間.

當(dāng)

這與是含峰區(qū)間.

（II）證明：由（I）的結(jié)論可知：

   當(dāng)f(x1)≥f(x2)時(shí)，含峰區(qū)間的長(zhǎng)度為l1=x2；

   當(dāng)f(x1)≤f(x2)時(shí)，含峰區(qū)間的長(zhǎng)度為l2=1－x1；

   對(duì)于上述兩種情況，由題意得

    ①   由①得1+x2－x1≤1+2r，即x2－x1≤2r.

又因?yàn)?i>x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r，所以    x2－x1=2r.  ②

將②代入①得     x1≤0.5－r, x2≥0.5+r.   ③

由①和③解得x1=0.5－r, x2=0.5+r.       

所以這時(shí)含峰區(qū)間的長(zhǎng)度l1=l2=0.5+r，即存在x1 , x2使得所確定的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度不大于0.5+r.

（Ⅲ）解：對(duì)先選擇的x1, x2, x1 <x2， 由（II）可知    x1+x2=1，   ④

在第一次確定的含峰區(qū)間為（0，x2）的情況下，x3的取值應(yīng)滿足   x3+x1=x2 , ⑤

由④與⑤可得    當(dāng)x1>x3時(shí)，含峰區(qū)間的長(zhǎng)度為x1.

由條件x1－x3≥0.02, 得x1－(1－2x1) ≥0.02, 從而x1≥0.34.

因此，為了將含峰區(qū)間的長(zhǎng)度縮短到0.34，只要取

x1=0.34, x2=0.66, x3=0.32.

 

 


同步練習(xí)冊(cè)答案