函數(shù)（、）滿足：，且對任意實(shí)數(shù)x均有0成立

（1）求實(shí)數(shù)、的值；

（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值.

【解析】(1) 恒成立.

(2)

     對稱軸,由于開口方向向上，所以求最大值時對稱軸要與區(qū)間中間進(jìn)行比較討論即可.

已知，設(shè)和是方程的兩個根，不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立；函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn).求使“P且Q”為真命題的實(shí)數(shù)的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了命題和函數(shù)零點(diǎn)的運(yùn)用。由題設(shè)x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當(dāng)a∈[1,2]時，的最小值為3. 當(dāng)a∈[1,2]時，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對任意實(shí)數(shù)a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

可得到要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真即可。

解：由題設(shè)x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當(dāng)a∈[1,2]時，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對任意實(shí)數(shù)a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

綜上，要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真，即

解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,8]

已知函數(shù)f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若對一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

當(dāng)時單調(diào)遞減；當(dāng)時單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值

于是對一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).　　　　　　　�、�

令則

當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.

故當(dāng)時，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即

從而，又

所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

已知函數(shù)f（x）=，為常數(shù)。

（I）當(dāng)=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（II）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問中，利用當(dāng)a=1時，f（x）=，則f（x）的定義域是然后求導(dǎo)，，得到由，得0＜x＜1；由，得x＞1；得到單調(diào)區(qū)間。第二問函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，則或在區(qū)間[1，2]上恒成立，即即，或在區(qū)間[1，2]上恒成立，解得a的范圍。

（1）當(dāng)a=1時，f（x）=，則f（x）的定義域是

。

由，得0＜x＜1；由，得x＞1；

∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，上是減函數(shù)。……………6分

（2）。若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，

則或在區(qū)間[1，2]上恒成立�！�，或在區(qū)間[1，2]上恒成立。即，或在區(qū)間[1，2]上恒成立。

又h（x）=在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)。h（x）_max=（2）=，h（x）_min=h（1）=3

即，或。    ∴，或。