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題目列表(包括答案和解析)

(本題滿分14分)

已知實數(shù),曲線與直線的交點為(異于原點),在曲線 上取一點,過點平行于軸,交直線于點,過點平行于軸,交曲線于點,接著過點平行于軸,交直線于點,過點平行于軸,交曲線于點,如此下去,可以得到點,,…,,… .  設(shè)點的坐標(biāo)為,.

(Ⅰ)試用表示,并證明;   

(Ⅱ)試證明,且);

(Ⅲ)當(dāng)時,求證:  ().

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(本題滿分14分)

 已知函數(shù)圖象上一點處的切線方程為

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若方程內(nèi)有兩個不等實根,求的取值范圍(其中為自然對數(shù)的底數(shù));

(Ⅲ)令,若的圖象與軸交于(其中),的中點為,求證:處的導(dǎo)數(shù)

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(本題滿分14分)

已知曲線方程為,過原點O作曲線的切線

(1)求的方程;

(2)求曲線,軸圍成的圖形面積S;

(3)試比較的大小,并說明理由。

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(本題滿分14分)

已知中心在原點,對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓,左焦點,一個頂點坐標(biāo)為(0,1)

(1)求橢圓方程;

(2)直線過橢圓的右焦點交橢圓于A、B兩點,當(dāng)△AOB面積最大時,求直線方程。

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(本題滿分14分)

如圖,在直三棱柱中,,,求二面角的大小。    

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一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)

1.B   2. B   3. C   4. C   5.D   6. B   7.C   8. B.

 

二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)

9. 6,17,28,39,40,51,62,73 .  10. .     11. 0. 

12. 20.   13. .     14. .    15. .

三、解答題(本大題共6小題,共80分)

16.(本小題滿分12分)

解:(Ⅰ),即

,∴.∵,∴

(Ⅱ)mn

|mn|

,∴,∴.從而

∴當(dāng)=1,即時,|mn|取得最小值

所以,|mn|

 

17.(本小題滿分12分)

解:(1)設(shè)擲兩顆正方體骰子所得的點數(shù)記為(x,y),其中,

則獲一等獎只有(6,6)一種可能,其概率為:;   

獲二等獎共有(6,5)、(5,6)、(4,6)、(6,4)、(5,5)共5種可能,其概率為:;

設(shè)事件A表示“同行的三位會員一人獲一等獎、兩人獲二等獎”,則有:

P(A)=;                        

ξ

30-a

-70

0

30

p

(2)設(shè)俱樂部在游戲環(huán)節(jié)收益為ξ元,則ξ的可能取值為,,0,,…7分

其分布列為:

 

 

 

 

則:Eξ=

由Eξ=0得:a=310,即一等獎可設(shè)價值為310 元的獎品。      

 

18.(本小題滿分14分)

證明:(1)取EC的中點是F,連結(jié)BF,

則BF//DE,∴∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角.

在△BAF中,AB=,BF=AF=.∴

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為.………5分

(2)AC⊥平面BCE,過C作CG⊥DE交DE于G,連AG.

可得DE⊥平面ACG,從而AG⊥DE

∴∠AGC為二面角A-ED-B的平面角.

在△ACG中,∠ACG=90°,AC=4,CG=

.∴

∴二面角A-ED-B的的正弦值為

(3)

∴幾何體的體積V為16.

 

方法二:(坐標(biāo)法)(1)以C為原點,以CA,CB,CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,2),E(0,0,4)

,∴

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為

(2)平面BDE的一個法向量為,

設(shè)平面ADE的一個法向量為,

從而,

,則,

∴二面角A-ED-B的的正弦值為

(3),∴幾何體的體積V為16.

 

19.(本小題滿分14分)

【解】(Ⅰ)法1:依題意,顯然的斜率存在,可設(shè)直線的方程為,

整理得 . ①   

    設(shè)是方程①的兩個不同的根,

    ∴,   ②                 

    且,由是線段的中點,得

    ,∴

    解得,代入②得,的取值范圍是(12,+∞).

    于是,直線的方程為,即     

    法2:設(shè),,則有

        

    依題意,,∴.              

的中點,

,,從而

又由在橢圓內(nèi),∴

的取值范圍是.                          

直線的方程為,即.       

(Ⅱ)∵垂直平分,∴直線的方程為,即,

代入橢圓方程,整理得.  ③         

又設(shè),的中點為,則是方程③的兩根,

到直線的距離,故所求的以線段的中點為圓心且與直線相切的圓的方程為:

20.(本小題滿分14分)

(Ⅰ)解:由題意得,,所以=

(Ⅱ)證:令,,則=1

所以=(1),=(2),

(2)―(1),得=,

化簡得(3)

(4),(4)―(3)得

在(3)中令,得,從而為等差數(shù)列

(Ⅲ)記,公差為,則=

,

,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立

 

21.(本小題滿分14分)

解:(1)由題意,≥0在上恒成立,即

         ∵θ∈(0,π),∴.故上恒成立,

         只須,即,只有.結(jié)合θ∈(0,π),得

(2)由(1),得

在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),

或者在[1,+∞)恒成立.

 等價于,即,

     而 ,(max=1,∴

等價于,即在[1,+∞)恒成立,

∈(0,1],

綜上,m的取值范圍是

(3)構(gòu)造,

當(dāng)時,,,,所以在[1,e]上不存在一個,使得成立.

當(dāng)時,

因為,所以,,所以恒成立.

上單調(diào)遞增,,只要,

解得.故的取值范圍是

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