題目列表(包括答案和解析)
(12分)
學校欲在操場邊上一直角三角形空地ABC上種植草坪,并需鋪設一根水管EF(E在AC上,F(xiàn)在AB上)用于灌溉,已知∠A=30°,∠C=90°,BC=2a,D是BC中點,為確保灌溉的效果,鋪設時要求∠EDF=60°,F(xiàn)有兩種方案可供參考。甲方案:取AC的中點E鋪設水管;乙方案:取AB的中點F鋪設水管。
(1)比較甲乙兩種方案,哪一種方案更合理(EF的長較小的合理);
(2)學校研究小組通過研究得出:無論D在BC的什么位置,總存在E,F(xiàn)兩點,使△DEF為正三角形。試證明該結(jié)論的正確性。
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,于是,所以
(2) ,設平面PCD的法向量,
則,即.不防設,可得.可取平面PAC的法向量于是從而.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設點E的坐標為(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如圖,作于點H,連接DH.由,,可得.
因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值為.
(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設交點為F,連接BE,EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2,PA=2,E是PC上的一點,PE=2EC.
(Ⅰ)證明:PC⊥平面BED;
(Ⅱ)設二面角A-PB-C為90°,求PD與平面PBC所成角的大小
【解析】解法一:因為底面ABCD為菱形,所以BDAC,又
⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為,.
⑴把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程;
⑵求經(jīng)過⊙O1,⊙O2交點的直線的直角坐標方程.
【解析】本試題主要是考查了極坐標的返程和直角坐標方程的轉(zhuǎn)化和簡單的圓冤啊位置關系的運用
(1)中,借助于公式,,將極坐標方程化為普通方程即可。
(2)中,根據(jù)上一問中的圓的方程,然后作差得到交線所在的直線的普通方程。
解:以極點為原點,極軸為x軸正半軸,建立平面直角坐標系,兩坐標系中取相同的長度單位.
(I),,由得.所以.
即為⊙O1的直角坐標方程.
同理為⊙O2的直角坐標方程.
(II)解法一:由解得,
即⊙O1,⊙O2交于點(0,0)和(2,-2).過交點的直線的直角坐標方程為y=-x.
解法二: 由,兩式相減得-4x-4y=0,即過交點的直線的直角坐標方程為y=-x
已知直三棱柱中, , , 是和的交點, 若.
(1)求的長; (2)求點到平面的距離;
(3)求二面角的平面角的正弦值的大小.
【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運用。第一問中,利用ACCA為正方形, AC=3
第二問中,利用面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點C平面ABC的距離CD=,第三問中,利用三垂線定理作二面角的平面角,然后利用直角三角形求解得到其正弦值為
解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC=3 …………… 5分
(2)在面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點C平面ABC的距離CD= … 8分
(3) 易得AC面ACB, 過E作EHAB于H, 連HC, 則HCAB
CHE為二面角C-AB-C的平面角. ……… 9分
sinCHE=二面角C-AB-C的平面角的正弦大小為 ……… 12分
解法二: (1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標系, 設|CA|=h, 則C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, -3, 0), C(0, -3, 0), A(0, 0, h), A(0, -3, h), G(2, -, -) ……………………… 3分
=(2, -, -), =(0, -3, -h(huán)) ……… 4分
·=0, h=3
(2)設平面ABC得法向量=(a, b, c),則可求得=(3, 4, 0) (令a=3)
點A到平面ABC的距離為H=||=……… 8分
(3) 設平面ABC的法向量為=(x, y, z),則可求得=(0, 1, 1) (令z=1)
二面角C-AB-C的大小滿足cos== ……… 11分
二面角C-AB-C的平面角的正弦大小為
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