題目列表(包括答案和解析)
數(shù)列,滿足
(1)求,并猜想通項(xiàng)公式。
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想。
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式求解,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。第一問利用遞推關(guān)系式得到,,,,并猜想通項(xiàng)公式
第二問中,用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想。
①對n=1,等式成立。
②假設(shè)n=k時,成立,
那么當(dāng)n=k+1時,
,所以當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立可證。
數(shù)列,滿足
(1),,,并猜想通項(xiàng)公。 …4分
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想。①對n=1,等式成立。 …5分
②假設(shè)n=k時,成立,
那么當(dāng)n=k+1時,
, ……9分
所以
所以當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立 ……11分
由①②知,猜想對一切自然數(shù)n均成立
(1)當(dāng)n=1時,S1=a1顯然成立;
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時,公式成立,即Sk=ka1+,
當(dāng)n=k+1時,Sk+1 =a1+a2+…+ak+ak+1 =a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(k-1)d]+(a1+kd)=(k+1)a1+(d+2d+…+kd)
=(k+1)a1+ d=(k+1)a1+ d,
∴n=k+1時公式成立.
由(1)(2)知,對n∈N*時,公式都成立.
以上證明錯誤的是( )
A.當(dāng)n取第一個值1時,證明不對
B.歸納假設(shè)的寫法不對
C.從n=k到n=k+1時的推理中未用歸納假設(shè)
D.從n=k到n=k+1時的推理有錯誤
已知是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,是等比數(shù)列,且,.
(Ⅰ)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記,,證明().
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q.
由,得,,.
由條件,得方程組,解得
所以,,.
(2)證明:(方法一)
由(1)得
①
②
由②-①得
而
故,
(方法二:數(shù)學(xué)歸納法)
① 當(dāng)n=1時,,,故等式成立.
② 假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立,即,則當(dāng)n=k+1時,有:
即,因此n=k+1時等式也成立
由①和②,可知對任意,成立.
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